Sets and Relations

Sets and Relations

និយមន័យៈសំនុំគឺជាការប្រមូលផ្ដុំរឺប្រជុំវត្តុ(មានជីវត) ទាំងឡាយដែលគេ តំរូវអោយមានលក្ខណះរួម មួយហៅថា  ធាតុនៃសំនុំ ។

គេតាងសំនុំដោយអក្សរ A,  B,  C, ...................។

គេតាងធាតុនៃសំនុំដោយអក្សរ a , b , c   ...............។

+ បើ  a  ជាធាតុមួយនៃសំនុំ E គេសរសេរ : “ a  E  “ រឺ “  E    a “  ។

+ បើសរសេរ a ជាធាតុមួយហើយ E ជាសំនុំមួយនោះគេបាន  :

a   E ពិត រឺ a   មិនពិត

ការកំនត់សំនុំ : គេកំនត់សំនុំ តាម ពីរ របៀប គឺ : 

ដោយអោយធាតុរបស់វា  ។

ដោយអោយលក្ខណះ ធាតុរបស់វាហើយគេសរសេរធាតុនៃសំនុំនៅក្នុង { ........}  ។

Ex : (i) – E = {a, b, c, }

(ii) – IN = {0 , 1 , 2, ............. }

(iii)- E = { x  IR / x2 –x = 0 } =  { 0 , 1 , -1 }

(IV)- E = { x  IN / x ជាចំនួនបឋមតូចជាង 20 }

=  { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19    }

សំនុំស្មើគ្នា: គេថា សំនុំE និងសំនុំ F ជាសំនុំស្មើគ្នាដែលសរសេរ E = F កាលណាវាមានធាតុស្មើគ្នា រឺ ដូចគ្នា

E = F  ( x , xE   x F )

សំនុំរង រឺ ផ្នែកនៃសំនុំ:

និយមន័យៈ E ជាសំនុំមួយ F ជាសំនុំមួយទៀតគេថា F ជាសំនុំរង រឺ ផែ្នកនៃសំនុំ E កាលណាមានធាតុ ទាំងអស់សុទ្ធ ជាធាតុ នៃ E  ។ 

គេសរសេរ “ F  E ” អានថា F នៅក្នុង E រឺ “ E  F ” អានថា E មាន F នៅក្នុង ។

តាមនិយមន័យគេបាន : ( F  E )  ( x ,x F  x   E )

ដ្យាក្រាមវិន

ហើយ E = F  E  F  F  E

Ex : (i)- E = { a, b, c, d  }

គេបាន : { a} , { b} , { c} , {a, b }, { a, c } , { b, c } , { a, b, c } សុទ្ធតែជាសំនុំ រងនៃ E ។

(ii)- E = IN  = { 0 , 1 , 2 , 3 ,............}

សំនុំចំនួនគូ P = { 0 , 2 , 4 , 6 ,.............}

សំនុំចំនួនសេស I = {  1 , 3 , 5 , ............}

សំនុំពហុគុណនៃ 3  F = { 0 , 3 , 6 , 9 ,.....}

សុទ្ធតៃជាសំនុំរង នៃ IN  ។

សំនុំទទេ: សំនុំទទេតាងដោយ  “ ” ជាសំនុំដែលគ្មានធាតុ i.e សំណើ “x  ”  ជាសំណើមិនពិត  x

Ex : (i)- { x   IR / x2 < 0 }  = 

(ii)- { x IN / x2 –x -1 = 0 } = 

ទ្រឹស្តីបទៈ Theorem :

(i)- ចំពោះគ្រប់សំនុំ  E  គេបាន  E  E

E  ហៅថាផ្នែកពេញនៃ E ។

(ii)- ចំពោះគ្រប់សំនុំ E គេបាន   E

 គេហៅថា  ផ្នែកទទេនៃ  E ។

Proof : (i)- E  E  ព្រោះ x , x  E   x  E  ជាសំណើពិត ។

(ii)-    E  ព្រោះ  x , x     x  E  សំណើពិត  ។

Note : បើ  F  E , F E , F   នោះ F ហៅថាសំនុំ រង នៃ E  ។

សំនុំរងបំពេញ : 

E  ជាសំនុំមួយ  ,A ជាសំនុំ រងមួយនៃ  E ។

ដែលហៅថាសំនុំរង បំពេញ នៃ A  E គឺជាសំនុំរងនៃ E ដែលមានធាតុទាំងអស់ជាធាតុនៃ E  តែមិនមែនជាធាតុនៃ A ។ គេតាងវាដោយ   A ̅=C_E^A

ដ្យាក្រាមវិន

ដូចនេះ     A ̅ = { x     E /  x    A  }

Ex           E={ a,b ,c,d,e }

A =  {  a,c,e }  , B ={ a,b,c }

   គេបាន A ̅  = { b,d }

B ̅ = {  d,e  }

លក្ខណ:  (i) - A ̿  =A

  (ii)-(E ) ̅=  , ̅   = E

           

សំនុំផ្នែកនៃ E

 បើ E ជាសំនុំមួយនោះគ្រួសារសំនុំ រងទាំងអស់  E បងើ្កតបានសំនុំមួយហៅថា សំនុំផ្នែកនៃE គេតាងដោយ P(E)។

Ex : (i)- E =  គេបាន P(E) = {}

(ii)- E = { a }

       P(E) = {  , {a} }

(iii)- E = {  a , b }

       P (E) = {  , {a} , {b} , {a , b} }

(iv)- E = { a , b, c }

         P (E)= { , {a} ,{b} ,{c} ,{a ,b } , {a ,c } ,{ b, c } , {a , b , c }}

Note : ជាទូទៅបើ E ជាសំនុំមួយដែលមាន n ធាតុ នោះ P(E) ជាសំនុំមួយដែលមាន 2n ធាតុ ។

ប្រមាណវិធីលើសំនុំៈ ផ្នែកនេះគេយកសំនុំ E ជាសំនុំសកលហើយសំនុំឯទៀតៗ ដូចជា A , B , C , D .......

ប្រសព្វនៃពីសំនុំៈ

 បើ A , B ជាសំនុំរងនៃ E ។

A  B= { x  E /x  B }

Ex : A = { a, b, c, d} , B = { a, c, d}

 A  B = { a, c }

លក្ខណះ

A  B = B  A

A  A = A

A E = A

A   = 

A∩A ̅ =  

( A  B )  C = A  ( B  C )

គេអាចសរសេរ  A  B  C  ។

ជាទូទៅបើ  A1 , A2.............An ជា n សំនុំរងនៃ E នោះគេបាន :

⋂_(i=1)^n▒A_i =ប្រជុំនៃពីសំនុំៈ 

A1  A2  A3  ......... An 

∑_(i=1)^n▒x_i =x_1+x_(2 )+ x_3 +...........+ x_n

∏_(i=1)^n▒x_i = x_1+ x_2+ x_3……….+x_n 

    (vii)- A  B  A , A  B  B

ប្រជុំនៃពីសំនុំៈ

 បើ A , B ជាសំនុំរងនៃ  E  ។ គេកំណត់ សរសេរ

A B = { x E / x  A  x  B }

Ex : A = { a, b, c, e } , B = { a, c, d, f }

 A  B = { a, b, c, d, e, f }

លក្ខណះ

(i)- A  B = B  A

(ii)- A  A = A

(iii)- A  E = E

(iv)- A   = A

(v)- A  A ̅  = E

(vi)- A  A  B , B  A  B

(Vii)- ( A  B )  C = A  ( B  C )

គេអាចសរសេរ A  B  C  ។

ជាទូទៅបើ A1 , A2 ,.................,An ជា n សំនុំរងនៃ E នោះគេបាន :

⋃_(i=1)^n▒A_i = A1  A2  A3  .............. An

លក្ខណៈទំនាក់ទំនងគ្នារវាងប្រសព្វ និងប្រេជុំៈ

លក្ខណៈបំបែកៈ

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

ច្បាប់ Morgan:

(A∩B) ̅=A ̅∪B ̅

(A∪B) ̅=A ̅∩B ̅

ផលដកនៃពីរសំនុំៈ

បើំ A, B ជាសំនុំរងនៃ E នោះគេបានៈ 

A\B={x∈E\x∈A∧x∉B}

ដ្យាក្រាមវិន

លក្ខណៈ

(i)- A \B និង B \A ជាសំនុំពីរដាច់គ្នា។ (សំនុំពីរដាច់គ្នាកាលណា វាមានប្រសព្វស្មើ  )

(ii)- A\B =A\(A B)

(iii)- A\A= 

(iv)- A\ =A

Ex: A={1,2,4,5,7,8}  ,B={1,3,6,7,9}

 A\B={2,4,5,8}

     B\A={3,6,9    }

*បរិមាណករតគ្គវិទ្យាៈ

បើគេឲ្យសំនុំ E មួយហើយអនុគមន៍សំណើ P.(x) មួយដែល x ប្រេប្រួលក្នុងនោះគេបានៈ 

A={xE/P(x)} ជាសំនុំរងមួយនៃ E : ពីរករណី កើនឡើង

បើ A=E មានន័យថា ធាតុទាំងអស់នៃ E សុទ្ឋតែមានលក្ខណៈ P ដែលគេសរសេរៈ

“∀x∈E ,P(x)” , ∀ ហៅថាបរិមាណករគ្រប់។

បើ A≠ , A≠E          i.e ជាធាតុខ្លះនៃ E ដែលមានលក្ខណៈ P នោះសរសេរៈ 

“∃x∈E ,P(x)  "រឺ  "∃x,x∈E ,P(x)”

∃ ហៅថាបរិមាណករមានៈ

Ex: យើងគេយក E=IR គេបានៈ

“∀x∈IR ,x^2≥0”

“∃x ∈IR ,x^2-1=0”

“∃x∈IR,x^2-1<0”

វិបាកៈ    (A⊂E )  ⟺(∀x ,x∈A⟹x ∈E)

(E=F )  ⟺(∀x ,x∈E ⟹x ∈F)

(E≠F )  ⟺(∀x ,x∈E ⟹x ∉F)

ឈ្នាប់មិននៃសំនើមានបរិមាណករ

+  (∀x ∈E ,P(x))≡(∃x∈E , P(x)) 

+ (∃x ∈E ,P(x))≡(∀x∈E , P(x))

Ex: (i)  (∀x ∈E ,P(x)q(x)≡(∃x∈E , P(x)q(x))

       (ii)  (∃x ∈E ,P(x)q(x)≡(∀x∈E ,P(x)q(x))

Note:  (pq)≡(p∧q) 

 ទំនាក់ទំនងទ្វេធាតុ

ផលគុណដេកាតនៃសំនុំៈ

គូត្រីធាតុ -n ធាតុៈ

+ គូ xy ជាសំនុំមាន លំដាប់ហើយមានពីរធាតុដែលគេសរសេរ (x,y)

x ជាគូអដោនេទីមួយ    y ជាគូអរដោនេទីពីរ ដូចនេះ: 

(x,y) = (x^',y^' ) x^'=x and y^'=y

+ត្រីធាតុៈ xyz ជាសំនុំមានលំដាប់ ហើយមានបីធាតុ x,y,z ដែលគេសរសេរ (x,y,z)

x ជា គូអដោនេទី 1

y ជាគូអរដោនេទី 2  

z ជាគូអរដោនេទី 3

ដូចនេះ 

(x,y,z)=(x^',y^',z^' ){█(x=x'@y=y'@z=z')┤

*ជាទូទៅ n ធាតុ x1,x2,………,xn គឺជាសំនុំដែលមានលំដាប់ហើយមាន n ធាតុ

x1,x2,………,xn ដែលគេសរសេរ (x1,x2,………,xn) ។

x1ជាគូអរដោនេទី1

x2ជាគូអរដោនេទី2

xnជាគូអរដោនេទីn

ដូចនេះ (x1,x2………., xn) = (y1,y2,……….., yn)

x1=y1

  x2=y2



xn=yn

ផលគុណដេកាតនៃពីរសំនុំៈ

គេមានសំនុំពីរគឺ E និង F ដែលហៅថា ផលគុណដេកាតនៃ E ដោយ F គឺកំនត់ដោយៈ 

E×F={(x ,y)/ x∈E ,y ∈F}

Ex: E={a, b, c} , F={1,2}

គេបាន 

E×F={(a ,1)(a,2)(b,1)(b,2)(c,1)(c,2)}

ដ្យាក្រាមតាង E×F

ដ្យាក្រាមដេកាតៈ

សង្កេត

F×E={(1,a)  (1,b)  (1,c)(2,a)(2,b)(2,c)}

ដូចនេះជាទូទៅ E×F≠F×E

តាមនិយមន័យដូចនេះ

E×F×G={(X,Y,Z)/x∈E,y∈F,z∈G}

គេកំនត់សរសេរ :E^2=E×F,E^2=E×E×E

ទំនាក់ទំនងទ្វេធាតុ - លក្ខណៈ

និយមន័យ:

គេអោយសំនុំពីរ E និង F ។ដែលហៅថាទំនាក់ទំនងទ្វេធាតុពី E ទៅ F គឺគ្រប់អនុគមន៍សំណើ R (x , y)

ដែលពិត ចំពោះគូ (x ,y) ខ្លះ នៃ E×F ហើយមិនពិតចំពោះគូខ្លះទៀត ។ ក្នុងករណីនេះគេថា :

R ជាទំនាក់ទំនងទ្វេធាតុមួយ ពី E ទៅ F ។

E ហៅថាសំនុំដើម រឺ ប្រភព ។

F ហៅថាសំនុំចុង រឺ បំនង ។

-បើ R (x ,y) មិនពិតគេសរសេរ "x R y"

-បើ R(x ,y) ពិតគេសរសេរ “x R y”

Ex: សំនុំ G={ (x ,y)/x R y } ហៅថាក្រាបនៃ R

(i)- E={2,3,5} , F={1,4,5,6}

គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ F ដោយ :

"\"x R y\"  \"" x<y" ក្រាប G នៃ R គឺ

G={(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(5,6)}

ដ្យាក្រាបនៃ R

ដ្យាក្រាមដេកាត

E={2,3,5},F={4,5,6,8,9,10}

គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ F ដោយ : "xRy"  “x ចែកដាច់ y” ក្រាបG នៃ R គឺ

G={(2,4)(2,6)(2,8)(2,10)(3,6)(3,9)(5,5)(5,10)}

ដ្យាក្រាមនៃ R

ទំនាក់ទំនងច្រាស់ៈ គេឲ្យ R ទំនាក់ទ្វេធាតុមួយពី E ទៅ F ។ ហៅថាទំនាកើទំនងច្រាស់នៃ R គឺទំនាក់ទំនង R-1 ពី F ទៅ E កំនត់ដោយៈ "∀x∈E,   ∀y∈F"  yR-1x  xRy

Ex: “xRy”  “x<y”

      y>x

     yR-1x

បណ្តាក់ទំនាក់ទំនងទ្វេធាតុ

ដ្យាក្រាមនៃ R និង φ 

ដូចនេះដ្យាក្រាមនៃ φ oR គឺៈ

ទំនាក់ទំនងក្នុងសំនុំមួយៈ

(a)- និយមន័យៈ បើ E ជាសំនុំមួយ រកទំនាក់ទំនង R ពី E  E  ហៅថាទំនាក់ទំនងក្នុងសំនុំ E ។

(b)- លក្ខណៈ  R ជាទំនាក់ទំនងក្នុងសំនុំ E មួយ គេថាៈ

(i)-R មានលក្ខណៈខ្លួនឯងកាលណាៈ ∀ខខខx∈E ,x R x

(ii)-R មានលក្ខណៈឆ្លុះ កាលណាៈ ∀ខខខx∈E ,x R y  y R x

(iii)-R មានលក្ខណៈឆ្លុះស្មើ កាលណាៈ ∀ខខខx,y∈E ,{█(x R y@y R x)┤  x = y

(iv)-R មានលក្ខណៈឆ្លង កាលណាៈ 

∀ខខខx,y,z∈E,{█(x R y@y R z)┤                     x R z

Ex: (i)- ក្នុងសំនុំ IN, Z/ , Q , IR ជាទំនាក់ទំនងសមភាព “=” មានៈ

- លក្ខណៈខ្លួនឯង ព្រោះ ∀a,a=a 

- លក្ខណៈឆ្លុះ ព្រោះ ∀a,b,a=b  b=a

- លក្ខណៈឆ្លង ព្រោះ ∀a,b,c {█(a=b@b=c)┤    a=c

      (ii)- តាង E សំនុំបន្ទាត់ក្នុងប្លង់។ ក្នុង E គេកំនត់ទំនាក់ទំនង “//” ក្នុងនៃទូលាយដោយៈ

∀D,D^'∈E ,D //D^'  D=D^'  ⋁▒〖D ∩D^'=   〗

-ទំនាក់ទំនង “//” មានៈ

- លក្ខណៈខ្លួនឯង ព្រោះ ∀D ∈E,D // D

-លក្ខណៈឆ្លុះ ព្រោះ ∀D,D' ∈E,D // D' D' // D

-លក្ខណៈឆ្លង ∀D,D^',D^''∈E{█(D//D'@D^'//D'')┤         ឌD // D''

(iii)- ក្នុងសំនុំ IN ទំនាក់ទំនង “” មានលក្ខណៈ

. លក្ខណៈខ្លួនឯង ∀a ∈IN,a≤a

. លក្ខណៈស្មើ ∀a ∈IN,{█(a≤b@b≤a)┤      a=b

. លក្ខណៈឆ្លង  ∀a,b,c ∈IN,{█(a≤b@b≤c)┤      a≤c

(iv)-ក្នុងសំនុំ IN* ទំនាក់ទំនង “ចែកដាច់” មានលក្ខណៈ

- លក្ខណៈខ្លួនឯង ព្រោះ ∀a ∈IN^*,a=1.a  "aចែកដាច់ a"

- លក្ខណៈឆ្លុះ ព្រោះ 

{█(a ចែកដាច់ b@b ចែកដាច់ a)┤       {█(b=Ka,K∈IN^*@a=K^' b,K'∈IN^* )┤  

b=kk^' b ,k,k^'∈IN^*

kk'=1 ,k,k^'∈IN^*

k=k^'=1 ,a=b

- លក្ខណៈឆ្លង ព្រោះ 

{█(a ចែកដាច់ b@b ចែកដាច់ c)┤           {█(b=ka,k∈ IN^*@c=k^' b,k'∈IN^* )┤      

 c=kk^' a,k,k'∈IN^*  

a ចែកដាច់ c

ទំនាក់ទំនងសមមូលៈ

និយមន័យៈ

R ជាទំនាក់ទំនងក្នុងសំនុំ E។ គេថា R ជាទំនាក់ទំនងសមមូលកាលណាវាមាន លក្ខណៈខ្លួនឯង, លក្ខណៈឆ្លុះ និង លក្ខណៈឆ្លងៈ

(i)- ∀a ∈E,aRa

R មានទំនាក់ទំនងសមមូលលើ E   (ii)- ∀a,b ∈E,aRb  b R a

(iii)- ∀a,b,c ∈E,{█(a R b@b R c)┤    a R c

Ex: ទំនាក់ទំនង “//” ជាទំនាក់ទំនងសមមូលក្នុងសំនុំបន្ទាត់នៃប្លង់ 

ថ្នាក់សមមូលសំនុំផលចែក

R ជាទំនាក់ទំនងសមមូលក្នុងសំនុំ E 

បើ a ជាធាតុមួយនៃ E ដែលហៅថាថ្នាក់សមមូលនៃ a គឺជាសំនុំរងនៃ E កំនត់ដោយៈ

a^0=[a]=CL (a)={x∈E/aRx}

R ជាទំនាក់ទំនង សមមូលក្នុង E។ ដែលហៅថាសំនុំផលចែកនៃ E ដោយ R គឺជាសំនុំ

E_R={a^0  /a∈E}

  Ex:  (i)-ក្នុង IN ទំនាក់ទំនង aRb កាលណា a=b 

គេបាន R ជាទំនាក់ទំនងសមមូលៈ

∀a  ∈IN,a^0={x∈IN /aRx}

                               ={x∈IN ∕a=x}={a}

ដូចនេះ IN⁄R={a^0  ∕a∈IN }

         ={00, 10, 20,................,n0,...............}

         ={[0], [1],[ 2],................,[n],...............}

(ii)-E ជាសំនុំសិស្សក្នុងថ្នាក់រៀនមួយដែលសិស្សមានអាយុ ពី ១៦ ឆ្នាំដល់ ២០ ឆ្នាំ។ ក្នុងសំនុំ E គេបង្កើតទំនាក់ទំនង R ដោយ xRy  “x=y” ឬ “x អាយុស្មើ y”

គេបាន R ទំនាក់ទំនងសមមូលព្រោះវាមានៈ

. លក្ខណៈខ្លួនឯងៈ ∀x ∈E ,x=x  xRx

. លក្ខណៈឆ្លុះ :  ∀x,y ∈E ,xRy  x=y ឬ  x មានអាយុស្មើ y

 y =x ឬ y មានអាយុស្មើ x

 y R x

. លក្ខណៈឆ្លងដោយ : ∀x,y,z∈E,{█(x R y@y R z)┤    {█(x=y ឬ x អាយុស្មើ y@y=z ឬ y មានអាយុស្មើ z)┤

 x =z ឬ x មានអាយុស្មើ z

 x R z

បើគេយកសិស្ស A, B, C, D, F មានអាយុរៀងគ្នា 16,17,18,19,20

គេបានៈ A^0={x ∈  E⁄(x មានអាយុ 16 ឆ្នាំ)

           B^0={x ∈  E⁄(x មានអាយុ 17 ឆ្នាំ)

           C^0={x ∈  E⁄(x មានអាយុ 18 ឆ្នាំ)

           D^0={x ∈  E⁄(x មានអាយុ 19 ឆ្នាំ)

           F^0={x ∈  E⁄(x មានអាយុ 20 ឆ្នាំ)

  ដូចនេះ         {E⁄R= A^(0 ),B^0,C^0,D^0,F^0}        

ទំនាក់ទំនងលំដាប់ៈ

និយមន័យៈ ទំនាក់ទំនង “” កំនត់ក្នុងសំនុំ E ហៅថាទំនាក់ទំនងលំដាប់ លើ E កាលណាវាមាន លក្ខណៈខ្លួនឯង លក្ខណៈឆ្លុះស្មើ និង លក្ខណៈឆ្លង។ ក្នុងករណីនេះ E ជាសំនុំរៀប រយដោយ  ឬ (E , ) ជាសំនុំរៀបរយៈ

 ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លើ E កាលណាៈ

(i)-∀x∈E ,x  x

(ii)-∀x ,y ∈E ,{█(a y@y  z)┤    x=y

(iii)- ∀x ,y,z ∈E,{█(x  y@y  z)┤     x  z

ទំនាក់ទំនងលំដាប់គ្រប់និងទំនាក់ទំនងលំដាប់ដោយផ្នែក

បើ “” ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លើ E គេថាៈ

(i)-  ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់គ្រប់ ឬ (E, ) ជាសំនុំរៀបរយគ្រប់កាលណា ∀ x,y ∈E ,x និង y ធៀបគ្នាបានតាម មានន័យថា x  y ឬ y  x

(ii)-  ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លំដោយផ្នែក ឬ (E , ) ជាសំនុំរៀបរយដោយផ្នែកកាលណា  មិនមែនជាទំនាក់ទំនងលំដាប់គ្រប់ គឺ  ∃ x,y,∈E ,x និងy មិនអាចធៀបគ្នាបានតាម 

Ex1: ទំនាក់ទំនង “” ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លំដាប់គ្រប់លើ IN ព្រោះ ∀a,b ∈IN ,a  b ឬ ba 

Ex2: ទំនាក់ទំនង “ចែកដាច់” ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លើ IN* វាជាទំនាក់ទំនងលំដាប់ដោយផ្នែក ព្រោះ 3 និង5មិនអាចធៀបញគ្នាបានតាម “ចែកដាច់”

Ex3: E ជាសំនុំមួយ, P(E) ជាសំនុំផ្នែកនៃ E ។ ក្នុង P(E) គេកំនត់ទំនាក់ទំនង “”។លើ P(E) 

គេបានៈ “” ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លើ P(E) ព្រោះវាមានៈ

(i)- ∀A ∈P(E),AA

(ii)- ∀A,B ∈P(E),           {█(AB@BA)┤    A=B

(iii)-∀A,B,Z ∈P(E),       {█(AB@BC)┤     A  B

វាទំនាក់ទំនងលំដាប់លំដោយផ្នែក ព្រោះបើគេយក A និង B មិនធៀបគ្នាបានតាម “”

Ex: គូស ដ្យាក្រាបនៃទំនាក់ទំនង “” លើ P(E) , E = {a,b} គេបាន P(E) ={,[a],[b],[a,b]}

*គូ E ={a,b,c}

 P(E) = { ,[a],[b],[c],[a,b],[a,c],[b,c],[a,b,c]}

កាឌីណាល់នៃសំនុំរាប់អស់

និយមន័យៈ សំនុំចំនួនកត់ធម្មជាតិ N តែមួយគត់ ហៅថា កាឌីណាលនៃសំនុំរាប់អស់ E គេសរសេរ Card E។ យើងបំពេញនិយមន័យនេះដោយ សន្មត់ថា Card  = 0 ុយើងឃើញថា Card {a} = 1 , Card {a ,b} = 2 បើ a ≠b ។ល។ យើងអាចនិយាយបានថា Cardinal នៃសំនុំរាប់អស់មួយ ជាចំនួន នៃធាតុរបស់វា។ 

លក្ខណៈ យើងសនប្មត់ថាៈ

(a)- បើ E ជាសំនុំរាប់អស់នោះគ្រប់ផ្នែក  F នៃ E ក៨ជាសំនុំរាប់អស់ដែរ ហើយ Card FE ហើយបើ F≠E នោះ Card F< E ។

(b)-បើ E និង F ជាសំនុំរាប់អស់នោះ EF ក៏ជាសំនុំរាប់អស់ដែរហើយ EF =  នោះ 

Card(EF)=Card F + Card E

វិបាកៈ 

បើ E ជាសំនុំរាប់អស់នោះយើងបាន (FE) ហើយ Card F = Card E )  E=F

បើ E ជាសំនុំរាប់អស់នោះ EF ក៏ជាសំនុំរាប់អស់បានដែរ។

∀E,F ដែលជាសំនុំរាប់អស់នោះCard(EF)+Card(EF)=Card E + Card F

Proof:  

យើងដឹងថា EF=E(F/E) ហើយ  E((F/E)=  

យើងដឹងថា F/E =CF(EF)

ដូចនេះ F=(F/E) (EF)

ដោយ (F/E) (EF)=  

 Card(EF)=Card E + Card (F/E)

    Card(F)=Card (F/E)+Card(EF)

ដូចនេះ

Card(EF)=Card E + Card F – Card (EF)

 Card (EF)+Card (EF)=Card E +Card F

(d)-∀E, E1,E2,E3……………………..,En.   (n1) ដែលជាសំនុំដាច់គ្នាពីរៗ ហើយរាប់អស់ យើងបាន

Card (E1E2 ……………En)=Card E1 + Card E2 +……..+Card E n

(e)- កាឌីកាលរបស់ផលគុណៈ 

បើ A និង B ជាសំនុំពីរ រាប់អស់មិនទទេ ហើយបើយើងយកអនុគមន៍ F កំនត់ដោយ f: A ×B ⟶A

(x , y)  x

ហើយ n=Card A និង p=Card B នោះយើងបានៈ Card (A ×B)=Card A ×Card B

យើងឲ្យសំនុំពីរ A និង B ដែល A = {1,2,3} , B = {1,2} 

A×B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}

 Card (A×B)=6

អនុគមន៍-អនុវត្តន៍

អនុគមន៍ៈ

និយមន័យៈគេឲ្យសំនុំពីរ E&F ទំនាក់ទំនងគ្នា ពី E ទៅ F ហៅថាអនុគមន៍ ពី E ទៅ F ∀x∈E,∃y ∈F យ៉ាងច្រើនមួយដែល x f y ក្នុងករណី x f y គេសរសេរ y=f(x) គេកំនត់

f: E  F

x⟼ y=f(x)

y ហៅរូបនៃ x ដោយ f ឬ តម្លៃនៃ f ត្រង់ x

x ហៅធាតុដើម y 

សំនុំ D={xE/ ∃ y ∈F ,y=f(x)} ហៅថាដែនកំនត់នៃ f។

Ex: (i): E={a,b,c,d}  , F={1,2,3}

ទំនាក់ទំនង f កំនត់ដោយដ្យាក្រាម Sagital ខាងក្រោមៈ

ជាអនុគមន៍មួយពី E ទៅ F ដែលកំនត់នៃ f គឺៈ D={a,b,c}

(ii)-E={1,2,3,4,5} , F={1,3,4,6,7}

f : E  F 

x⟼ y=f(x)=x+2

ដ្យាក្រាម Sagital: 

ដែលកំនត់នៃ f គឺ D={1,2,4,5} ។

(iii)- គ្រប់អនុគមន៍ៈ f : IR  IR ហៅថាអនុគមន៍លេខ នៃ មួយអថេរពិត។

ដូចជា f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……..+a1x+a0 ហៅថាអនុគមន៍ ពហុធាដឺក្រេ n មានដែនកំនត់ D=IR

 +f(x)=(x^2+1)/(x^2-1) ជាអនុគមន៍សនិទាន មានដែនកំនត់ D=IR \{±1}

សមភាពនៃពីរអនុគមន៍ៈ

គេឲ្យ f,g ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F ។ គេថា f =g កាលណាៈ

(i)- f និង g មានដែនកំនត់ដូចគ្នា D។

(ii)- ∀x∈D ,f(x)=g(x) 

Ex: f: IR \ {1} ⟶ IR

      x          f(x)=x+1

     g: IR \ {1} ⟶ IR

      x          g(x)=  (x^2-1)/(x-1)

គេបានៈ  f(x)=g(x) 

បង្រួមនិងបន្លាយអនុគមន៍ៈ

f ជាអនុគមន៍ ពី E  F , A ជាសំនុំរងនៃ E ។ ដែលហៅថា បង្រួមនៃ f ទៅ A ដែលគេសរសេរ ថ f⁄A គឺជាអនុគមន៍ 

ថ f⁄A : A                        F

+ f ជាអនុគមន៍ពី A ទៅ F , A ជាសំនុំរងនៃ E ។ អនុគមន៍ g ពី E ទៅ F ហៅថា បន្លាយមួយនៃ f ទៅ E កាលណា∀ខx∈A,f(x)=g(x)

Ex: 

(i)- f: IR    IR

+ បង្រួម f ទៅ IR+ គឺៈ

f⁄〖IR〗^+  : IR+      IR

+បង្រួម f ទៅ 〖IR〗^- គឺៈ

f⁄〖IR〗^-  ∶ IR^-      IR

(ii)- f : IR*      IR

g : IR IR

         x⟼g(x)={█(sin⁡x/x  បើ  x≠0@1 បើ x=0)┤

 g ជាបន្លាយមួយនៃ f 

បណ្តាក់នៃអនុគមន៍ៈ

+ និយមន័យៈ E, F, G ជាសំនុំបី។ f ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F, g ជាអនុគមន៍ ពី F ទៅ G ។ ដែលហៅថា បណ្តាក់នៃ f ដោយ g គឺអនុគមន៍ពី E ទៅG តាងដោយ g0 f  ដែល (g0 f) (x) = g[f(x)]

ដ្យាក្រាមៈ E      f F g G 

   x   y = f(x)    z = g(y) 

   = g[f(x)]= (g0 f) (x)

     g0 f

 ឬ E    f F

g0. f G  

Ex: f: IR    IR

    x        f(x)=2x+1

g: IR    IR

    x        g(x)=√x  

គេបានៈ  (go f ) (x)=g[f(x)]=g(2x+1)=√(2x+1)

(fo g ) (x)=f[g(x)]= f(√x)=2√x+1

Note: g0 f ≠ f0 g

*ទ្រឹស្តីបទៈ បណ្តាក់អនុគមន៍មានលក្ខណៈផ្តុំមានន័យថាបើ f ជាអនុគមន៍ ពី E ទៅ F អនុគមន៍ពី F ទៅ G។ h ជាអនុគមន៍ពី  G ទៅ H គេបានៈ (h0g) 0 f = h0 (g0 f) ពិតតាមមេដ្យាក្រាមខាងក្រោមៈ

 ឬ E f     F

(h0 f)0 f = h0 (g0 f)

    H         G  

តទៅគេសរសេរៈ h0g0 f ជំនួស អង្គទាំងពីរ។ គេកំនត់សរសេរ f2=f 0 f , f3=f 0 f 0  f

អនុវត្តន៍ៈ

និយមន័យៈ អនុគមន៍ f ពី E ទៅ F ហៅថាអនុគមន៍ពី E ទៅ F កាលណាដែនកំនត់នៃ f ស្មើ  E ។

ដូចនេះ f ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F  ∀x∈E ,∃ y ∈F តែមួយគត់ y=f(x)

Ex: 

(i)- f : IN IN

n    f(n)=n2+3n+1 ជាអនុគមន៍។

(ii)- f : IR IR

x    f(x)=x/(x^2+1) ជាអនុគមន៍ ពី IR ទៅ IR។

លក្ខណអនុវត្តន៍ៈ 

f ជាអនុគមន៍មួយពី E ទៅ F គេថាៈ 

(i)- f ជាអនុគមន៍ពេញៈ កាលណា ∀ y∈F ,∃ x∈E  យ៉ាងតិចមួយ , y= f(x)

(ii)- f ជាអនុគមន៍ប្រកាន់ៈ កាលណា ∀ x_1 〖,x〗_2∈E ,x_(1 ≠) x_2  f(x_1 )  ≠f(x_2) 

ម្យ៉ាងទៀតៈ ∀ x_1 〖,x〗_2∈E ,f(x_1 )  ឲ=f(x_2 ) x_1=x_2

                   ≡∀ y∈F ,∃ x∈E យ៉ាងច្រើនមួយ , y = f(x)

(iii)- f ជាអនុគមន៍មួយទល់មួយ កាលណា f ជាអនុគមន៍ពេញផង ប្រកាន់ផង

 ∀ y∈F ,∃ x∈E តែមួយគត់ , y = f(x) 

 ∀ y∈F សមីការអញ្ញាតិ , x ,  f(x) = y មានឬសតែមួយគត់ៈ

+ អនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍ មួយទល់មួយ 

បើ f ជាអនុគមន៍មួយទល់មួយពី E ទៅ F គេបាន ∀ y∈F ,∃ x∈E តែមួយគត់ y=f(x)

 ∀ y∈F ,∃ x∈E តែមួយគត់ y f x

 f-1 ជាអនុគមន៍ពី F ទៅ E , f-1 ជាអនុគមន៍ច្រាស់នៃ f គឺ x= f-1(y)  y= f(x) 

ច្រើនតាមនិយមន័យ f ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F គេបានៈ 

∀ x∈E ,∃ y∈F តែមួយគត់ , y=f(x)  ∀ x∈E ,∃ y∈F តែមួយគត់ x=f-1(y)

        f-1 ជាអនុគមន៍ពីមួយទៅមួយពី F ទៅ E

Ex: 

(i)- f : IR IR

x y=f(x) = x2

តើ f ជាអនុគមន៍ ពេញ ឬ ទេ?ប្រកាន់ ឬទេ?

ស្រាយៈ 

+ f មិនជាអនុគមន៍ពេញ ព្រោះ ∃∈IR ,∀x∈IR,f(x)=x^2  ≠-1 

+ f មិនជាអនុគមន៍ប្រកាន់ ព្រោះ ∃-1∈IR ,1∈IR,-1≠1 តែ f(f(-1)=f(1)=1 

+f មិនពេញ  ∃ y ∈F ,∀ x ∈E ,y ≠f(x)

+f មិនប្រកាន់  ∃ x_1,x_2  ∈E ,x_1≠តែ  f(x_1 )=f(x_2)

(ii)- f : IN IN

        n  f(n)=3n

តើ f ជាអនុគមន៍ពេញឬទេ? ប្រកាន់ឬទេ?

ស្រាយៈ 

+ f ជាអនុគមន៍ប្រកាន់ ព្រោះ ∀n1,n2 ∈IN , n1≠n2  f(n1)=3n1 ≠ f(n1)= 3n2

+ f ជាអនុគមន៍ពេញ ព្រោះ ∃2∈IN ,∀ n ∈IN ,f(n)=3^n≠2 

(iii)- f : IR+ IR+

n    y = f(x)=x2

បង្ហាញថា f ជាអនុគមន៍ មួយទល់មួយ ហើយកំនត់ f-1?

ស្រាយៈ 

ចំពោះ ∀y∈IR សមីការអញ្ញាតិ x

{█(f(x)=y@x ∈〖IR〗^+ )┤  {█(x^2=y@x ∈〖IR〗^+ )┤ 

 x = √y មាន ឬសមួយគត់។

ដូចនេះ f ជាអនុគមន៍មួយទល់មួយ ពី IR+ ទៅ IR+ អនុគមន៍ច្រាស់របស់ f គឺៈ

f-1  : IR+         IR+

         x   f-1(x)=√x

រូបភាពនៃសំនុំដោយអនុវត្តន៍ៈ

+និយមន័យៈ f ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F , A ជាសំនុំរងនៃ E។

ដែលហៅថារូបភាពនៃ A ដោយ f  គឺសំនុំដោយៈ

f(A)={f(x)/x∈A}

ជាពិសេស  f(E)={f(x)/x∈E}

Ex: f : IR IR

x f(x) = x2

គេបានៈ

+ f([0,1])=[0,1]

+ f([-1⁄2,2⁄3])=[[0,4⁄9]

+ f(IR) =IR+

Ex: f: IN IN

n f(n)=2n

គេបានៈ 

+ f(IN) = {1,2,22,……, 2n….}

+ f(3,4,5)= {8,16,32}  

*ទ្រឹស្តីបទៈ

(i)- ∀A ,B  E ,A  B  f(A) f(B) 

(ii)- ∀A,B  E , 

+ f(AB)=f(A)f(B)

+ f(AB) f(A)  f(B)

(iii)-f ពេញ  f(E) =F

(iv)- f ប្រកាន់  ∀A,B  E ,f(AB)=f(A)f(B)

ទ្រឹស្តីបទៈf ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F,g ជាអនុគមន៍ពី F ទៅ , h=g0 fជាអនុគមន៍ពី E ទៅ G។

គេបានៈ 

(i)- f and g ពេញ  h ពេញ

(ii)- f and g ប្រកាន់  h ប្រកាន់

(iii)- f and g មួយទល់មួយ  h មួយទល់ំមួយ

Exercises:

List the elements of the following sets; here N ={1,2,3,….}.

A ={x∶x∈N,3<x<12}

B ={x:x∈N,x is even ,x<15}

C={x:x∈N,4+x=3}

Consider the following sets:

A={1}; B={1,3};  C={1,5,9};  D={1,2,3,4,5};   E={1,3,5,7,9};   U={1,2,3,4,5,6,7,8,9};

Insert the correct symbol  or  between each pair of sets:

 

B,C

C,D

D,E

A,B

B.E

C,E

D,U

 

In problem 2, assume U=1,2,3,4,5,6,7,8,9 and 

 A={1,2,3,4,5}

 B={4,5,6,7}

C={5,6,7,8,9}

D={1,3,5,7,9}

E={2,4,6,8}

F={1,5,9}

Find (a) AB and AB , (b) BD and BD, (c) AC and AC, (d) Ac , Bc, and Dc; 

(e) A\B,B\A, and F\D

*Recall that the union XY consists of those elements in either X or Y (or both), and that the intersection XY consist of those elements in both X and Y.

*Recall that the complement Xc consist of those elements in the universal set U which do not belong to X, and the difference X\Y consist of those elements in X which do not belong to Y.

Show that we can have AB =AC without B=C.

Write the dual of each set equation:

(AB)(BBc) =A 

(AU)(BA)=A

Prove the identity (UA)(BA)=A

In a survey of 60           people it was found the 25 read Newsweek magazine, 26 read Time and 26 read Fortune. Also 9 read both Newsweek and Fortune, 11 read both Newsweek and Time, 8 read none of the three magazines.

Find the number of people who read all three magazines.

Fill in the correct number of readers in each of the either regions of the Venn diagram.

Determine the number of people who read exactly one magazine.

Determine the power set P(S) of S={a,b,c,d}.

Observe that P(S) has 24=16 elements.

Give A={1,2} , B={x,y,z}, C={3,4} , Find A × B × C.

Given (2x, x+y) =(6,2). Find x and y.

Find all the partitions of X={a,b,c,d}.

Let R and S be the following relations on A={1,2,3}

R={(1,1),(1,2),(2,3),(3,1),(3,3)} S={(1,2),(1,3),(2,1),(3,3)}

Find RS, RS, and R0 

Which of the following sets are equal?

{1,2},{1,3},{2,1},{3,1,3},{1,2,1}

A={x:x2-4x+3=0} C={x:x∈N,x<3}

B={x:x2-3x+2=0} D={x: x∈N,x is odd,x<5}

List the elements of the following sets if the universal set is U={a,b,c,….,y,z}.

which of the sets, if any, are equal?

A={x:x is a vowel}

B={x:x is letter in the word “little”}

C={x: precedes f in the alphabet}

D={x:x is letter in the word “title”}

Given  A={a,b,c,d,e} C={b,c,e,g,h}    

      B={a,b,d,f,g} D={d,e,f,g,h}

Find (a)- AB (c)- C\D (e)- (AD)B

(b)- BC (d)- A(BD) (f)- BCD

Write the dual of each set equation:

A(AB)=A

(AB)(AcB)(ABc)(AcBc)=U

The Venn diagram of Fig show sets A, B, and C. Shade the following sets.

ABC

ABcC

A(BC)

C(ABc)

(AcB)\C

A survey of 100 students products the following statics:

32 study mathematics,

20 study physics,

45 study biology,

15 study mathematics and biology,

7 study mathematics and physics,

10 study physics and bioplogy,

30 do not study any of three subjects.

(a)- Find the number of students studying all three subjects.

(b)-Fill in the number of students in each of the eight regions of the Venn diagram, Where M, P, and B denote the sets of students studying mathematics, physics and biology respectively.

(c) Find the number of students taking exactly one of the three subjects.

Find the power set, P(S), of S={1,2,3,4,5}

Let W=1,2,3,4,5,6. Determine which of the following are partitions of W:

[{1,3,5},{2,4},{3,6}]

[{1,5},{2},{3,6}]

[{1,5},{2},{4},{1,5},{3,6}]

[{1,2,3,4,5,6}]

Find x and y if:

(x+2,4)=(5, 2x+y)

(y-2, 2x+1)=(x-1,y+2)

Show that:  A  B = A  A  B 

Show that:  B = A  B  A  B

Show that:  ∀A,B,C 

if(A  B)  (A  C  B  C) and (AC  B

Show that:

BA  A\B = C_A^B

A\B = A\(AB)\B=AB ̅

A, B, C are subsets of E, show that:

(AC)(BC)=AC

(AC)(BC)=BC

(AB ̅)(A ̅B ̅)=B ̅ 

(AB)(AB ̅)(A ̅B)=AB

Suppose that 100 of the 120 mathematics students at a college take at least one of the languages French, German, and Russian. Also suppose: 

65 study French

45 study German

42 study Russian

20 study French and German

25 study French and Russian

15 study German and Russian

    Let F, G, and R denote the sets of students studying French, German and Russian respectively. We wish to find the number of students who study all three languages and to fill in the correct number of students in each of the eight regions of the Venn Diagram.

-គេដឹងថាក្នុងសិស្ស1000នាក់មាន720នាក់រៀនភាសាខែ្មរ500នាក់រៀនភាសាអង់គេ្លស250នាក់រៀនភាសាបារាំង និង3 40នាក់រៀនភាសាខែ្មរនិងអង់គេ្លស140នាក់រៀនភាសាខែ្មរនិងភាសាបារាំង 130 នាក់រៀនភាសាអង់គេ្លស និងភាសាបារាំង ហើយ  40នាក់រៀនភាសាទាំង៣។ដោយប្រើដ្យាក្រាមវិន ចូររកចំនួនសិស្សដែលមិនរៀនភាសាណាមួយសោះ។

-គេកំណត់ឈ្នាប់ “w” ហៅថាឈ្នាប់( រីដាច់ណាត់ )

Truth Table

p q p w q

1

1

0

0 1

0

1

0 0

1

1

0

Show that :

(a)-p w q  q w p (b)- (p w q) w r  p w (q w r )

(c)-p(q w r)  (pq) w (pr)

(ប្រើលំហាត់ទី26) A, B, C ជាសំនុំរងនៃ E គេកំណត់ :

    A  B = {xE/ xA w xB};  ហៅថាផលដកឆ្លុះ ។

Show that :

(a)-A  B = (A\B)(B\A)=(AB)\(AB) (b)-A  B = B  A

(c)-A  B)  C = A  (B  C) (d)-A(B  C) = (AB)  (AC)

30)-គេអោយ E = { 0,1,2,3,4,5,6 } គេកំណត់ទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ E ដោយ :

x R y  x + y = 6

សង់ដ្យាក្រាមដេកាតនៃ R ហើយទាញរកក្រាបនៃ R

 31)-គេអោយ E =[0,1]  នៃ R ។គេកំណត់ទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ E ដោយ :

x R y  x + y  1

សង់ដ្យាក្រាមដេកាតនៃ R ។

32)-សង់ដ្យាក្រាមតាងទំនាក់ទំនងលំដាប់ “ ចែកដាច់ ”

ក-ក្នុងសុំនុំតួចែកនៃ 12 ។

ខ-ក្នុងសុំនុំតួចែកនៃ 90 ។

33)-លើសំនុំN2 = {(a, b)/ a, bN}

គេកំណត់ទំនាក់ទំនង R ដោយ:  (a,b),(a’,b’) N2 , (a,b) R(a’,b’) a+b’ =b+a’

(a)-ស្រយថា R ជាទំនាក់ទំនងសមមូលលើ N2 ។

(b)-បើ(a,b) N2 រកថ្នាក់សមមូល (a,b) ។សង់សំនុំផលចែក N2 /R ។

34)-លើ N2 គេកំណត់ទំនាក់ទំនង “  ” ដោយ :

      (a,b),(a’,b’)N2,(a,b) (a’,b’)(a  a’)(bb’)

      ស្រាយថា  ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លើ N2 ។តើវាជាទំនាក់ទំនងលំដាប់គ្រប់រឺទេ?

35)-គេអោយ A = { x R/ x2- 8x+ 12 =0}, B= { x R / x2 – 4x- 5 =0 }

       ស្រាយថា A និង B ជាសំនុំដាច់គ្នា ។

36)-គេអោយ A = {x R/ x2 – 8x + 12 =0} , B={ x Z/ x2 – 4x+ 3 <= 0 }

       គណនា AB  ។

37)-យើងយកសាកល E =N,C ={ x  N* / x ជាពហុគុណនៃ 3 នីង x < 16},

       B = {x  N* / x ជាចំនួនគូនិង x < 14 }, ហើយ A= {x  N* /x <14}.

        គណនា A(BC) ។

38)-យើងយកសកល A = { x  N/1 < 7 }, B = { x  N/ 3 < x < 10}។

       គណនា A \ B និង B \ A ។

39)-A , B ជាសំនុំរង E ស្រាយថាA  B  A \ B = 

40)-A , B ជាសំនុំរងនៃ E ស្រាយថា:

(a)- A  B  A  B ̅  = 

(b)- A  B  (A ) ̅  B = E

41)-Show that A  B = A  B  A = B

42)-A, B, C, ជាសំនុំរងនៃ E គេកំនត់ A  B = (A\B)(B\B)

Show that A  B = (AB)\ (BA)

43)A,B ជាសំនុំរងនៃ E ស្រាយថា: A  B  A ̅ ( B) ̅

44)-Show that A(BC) = (AB)(AC)

45)-Show that A =B  AB = 

46)-ចូរប្រៀបធៀប P(AB) and P(A)P(B) រួច P(AB) and P(A)P(B)

47)-គេអោយ E = {2, 3, 4}; F = {6, 7, 8} គេកំនត់ទំទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ F ដោយ:

       xE; yF; xRy  x ជាតួចែកនៃ y

(a)សង់ដ្យាក្រាម sagital និងដ្យាក្រាមដេកាតតាងក្រាបនៃR

(b)សំនួរដូចគ្មាចំពោះR-1

48)-គេអោយ E = {2, 3, 4, 5}; F ={2, 3, 4, 5, 6}; H = {6, 5, 8, 9}

គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ F និងទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ F និងទំនាក់ទំនង ពី F ទៅ H ដោយ:

xE; yF; xRy  x < y

yF; zH; yz  z = y +2

សង់ដ្យាក្រាមតាងទំនាក់ទំនង  o R

49)-គេអោយ A = {(x,y)R2/R: 2x+3y-6 = 0  x-3y+3 = 0}

B ={(1,y);yR} C = {(x,0) , xR}

Show that A = BC

50)-គេអោយសំនុំE={3,4,5,6,8,10,} ក្នុងសំនុំE គេកំនត់ទនាក់ទំនងR ដោយះ

      ∀x,y∈E;xRy (x

51)-គេអោយសំនុំE={ 1,2,3,4,5 } លើសំនុំ E គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ដោយ:

     ∀x,y∈E;xRy (x+y-xy=)

     (a)-សង់ដ្យាក្រាមតាងក្រាបនៃR

      (b)-សិក្សាលក្ខណះនៃR

52)-លើសំនុំ R គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ដោយៈ ∀ខx,y∈R;xRy  (|x|+|y|=1)  

(a)- សង់ដ្យាក្រាមដេកាតតាង R 

(b)- សិក្សាលក្ខណៈនៃ R 

53)- គេឲ្យសំនុំ E ={a,b,c} លើ P(E) គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ដោយៈ

∀A,B∈P(E);ARBA{a}=B{a}

(a)- ស្រាយថា R ជាទំនាក់ទំនង សមមូល

(b)- សង់ដ្យាក្រាម តាង R ហើយរកថ្នាក់សមមូលទាំងអស់ (ឬរកសំនុំផលចែក)

54)- លើសំនុំ R គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ដោយៈ ∀a,b∈R;aRb  (|a|-|b|=a-b

(a)- ស្រាយថា R ជាទំនាក់ទំនងសមមូល 

(b)- ចូរកំនត់ថ្នាក់សមមូល 20;-20

(c)- ចូរកំនត់ថ្នាក់ a0,aR

55)- R1; R2 ជាទំនាក់ទំនងសមមូលពីរនៅលើ E។ខាងក្រោមនេះគឺជាទំនាក់ទំនងសមមូលៈ

(a)- aRb  aR1b  aR2b ស្រាយថាR ជាទំនាក់ទំនងសមមូល។

(b)- aRb  aR1b  aR2b តើ ជា ទំនាក់ទំនងសមមូលឬទេ?

T ជាទំនាក់ទំនងកំនត់ក្នុង E ដែលមានលក្ខណៈខ្លួនឯង និងលក្ខណៈឆ្លង

កំនត់ទំនាក់ទំនងR លើ E ដោយៈ aRb  aTb  bTa 

ស្រាយថា R  ជាទំនាក់ទំនងសមមូលលើ E។

លើសំនុំផលចែក E/R គេកំនត់ទំនាក់ទំនង   ដោយៈ

∀a^0,b^0;a^0  φ b^0    aRb 

ស្រាយថា  ជាទំនាក់ទំនងសមមូលលើ E/R ។

ចំពោះ xN* គេកំនត់ទំនាក់ទំនង f ដោយៈ

f(x)={dN/d ចែកដាច់ x}

តើ f ជាអនុគមន៍ឬទេ? បើអនុគមន៍តើ ពីសំនុំ N* ទៅសំនុំណា? 

សិក្សាលក្ខណៈនៃ f ។ 

គេឲ្យ f: N  N

  x  f(x) =2x

g : N  N

      

xg(x)= {█(x⁄(2 បើ x គូ)@0 បើ x សេស)┤

ចូរកំនត់ f(N) and g(N) 

ចូរកំនត់ h = g o f and k=f o g និងរក h(N) and k