Boolean Algebra, Logic Gates

Boolean Algebra, Logic Gates

Boolean Algebra
នៅក្នុងឆ្នាំ ១៨៥៤ លោក George Boole ដែលជាទស្សនៈវិទូរ និងជាអ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិអង់គ្លេសបានបង្កើតគណិតវិទ្យានេះឡើង។
និយមន័យៈ
-ស្ថានភាព Logic តាងដោយ 0 និង 1
-អថេរ Logic ត្រូវបានតាងដោយ ព្យញ្ជនៈ ឬ និមិត្តសញ្ញាផ្សេងៗដែលអាចមានតម្លៃ 0 និង 1 ទៅតាមលក្ខខ័ណ្ឌ
តារាងភាពពិតរបស់អនុគមន៍ៈ
បើអនុគមន៍មួយមាន n អថេរនោះតារាងភាពពិតរបស់អនុគមន៍នោះគឺជាតារាងមួយដែរមាន(n+1) ជួរនិង 2nបន្ទាត់។
Ex: ចំពោះ n=2 អនុគមន៍មានពីរអថេរៈ f(A,B) = A.B
Input Output
A B f(A,B) = A.B
1
1
0
0 1
0
1
0 1
0
0
0




អនុគមន៍ Logic ដំបូងៈ
អនុគមន៍Logic ដំបូងមានតែបីប៉ុន្នោះគឺ
-អនុគមន៍ Logic នឹង (and) (ផលគុណ Logic)
- អនុគមន៍ Logic ឬ (or) (ផលបូក Logic)
- អនុគមន៍ Logic មិន (note) 
អនុគមន៍ Logic និង (and)
អនុគមន៍ Logic និង ប្រើសំរាប់ភ្ជាប់អថេរ2 ឬច្រើនហើយវាមានតំលែស្មើ 1 ក្នុងករណីដែលយើង Input 1
Input Output
A B f(A,B) = A and B
1
1
0
0 1
0
1
0 1
0
0
0
បកស្រាយតាម សៀគ្វីអគ្គិសនី



តាមរូប Circuit គេបាន
-បើ អាំងទែរុបទ័រ A បិទ  A=1
-បើ អាំងទែរុបទ័រ B បិទ  B=1
-អំពូលភ្លឺកាលណា A and B បិទព្រមគ្នា (i.e A.B=1)

អនុគមន៍ Logic រឺ (or): ប្រើសំរាប់ភ្ជាប់ អថេរ2 ឬច្រើនហើយវាមានតំលៃស្មើមួយយ៉ាងតិច
តារាងភាពពិត
Input Output
A B f(A,B) = A + B
1
1
0
0 1
0
1
0 1
1
1
0
បកស្រាយតាម Circuit អគ្គសនីៈ




-អំពូលភ្លឺកាលណា  A ឬ B បិទ។
អនុគមន៍ Logic មិន (Not)
គឺជាអនុគមន៍នៃមួយអថេរ ដែលមាននិមិត្តរូប ( - ) អានថា បារដាក់ពីលើអថេរ។
តារាងភាពពិតៈ
Input Output
A F(A) = A ̅
1
0 0
1
លក្ខណៈនៃអនុគមន៍ Boolean
លក្ខណៈទី1(Identity laws)
A+0=A (0 ជាធាតុណឺតចំពោះ +)
A.1=A (1 ជាធាតុណឺតចំពោះ x)
លក្ខណៈត្រលប់ (commutative)
_A+B=B+A
_A.B=B.A
លក្ខណៈផ្តុំ (Associative laws)
A+(B+C)=(A+B)+C
A.(B.C)=(A.B).C
លក្ខណៈបំបែក (Distributive)
A+(A+B)=AB+AC
A+(B.C)=(A+B)(A+C)
Complement laws:
A +( A) ̅ = 1
A .  A ̅ = 0
លក្ខណៈទាំងអស់ ខាងលើជាមូលដ្ឋានគ្រឹស ដែលប្រើប្រាស់សំរាប់ ស្រាយបញ្ញាក់ទ្រឹស្តីបទរបស់  Boolean Algebra

គោលការណ៍អនុគមន៍ Boolean Algebra:
រាល់អនុគមន៍ Logic ទាំងអស់នៅតែពិតដដែល បើកាលណាគេជំនួស (+) ដោយ (*) និង 0 ដោយ 1 ហើយកាលណាបើគេ ជំនួស (  ) ដោយ (+) និង 1 ដោយ 0។


Theorem of Boolean Function
Theorem1:
-x+x=x
-x.x=x
-x+x  =(x+x)1=(x+x)(x+x ̅ )=x+x.x+x ̅
= x+0 = x
-x.x=x.x+0=x.x+x.x ̅
Theorem2:
x+1=1
x.0
Proof:
-x+1=x+x+x ̅=x+x ̅=1,x.0=x.x.x ̅=0

-x+(x.y)=x
-x+(x+y)=x

-x.(x ̅+y)=xy
-x.(x ̅.y)=x+y


In the Boolean Algebra Theorem if (x+y)=1 and x.y=0 y=x ̅

 x ̅=x
(Morgan)
-((x+y) ̅ )=x ̅.y ̅
-((x.y) ̅ )=x ̅+y ̅
ចំពោះច្រើនអថេរៈ

                             ∑_(i=1)^n▒〖Ai=∏_(i=1)^n▒(Ai) ̅ 〗
                             ∑_(i=1)^n▒〖(Ai) ̅=∏_(i=1)^n▒Ai〗
Proof 5:  y  = y + 0
    = y + x.x ̅ = (y+x)(y+x ̅)
    = 1.(y+ x ̅)=(x+ x ̅)(y+x ̅)
    =  x ̅+x.y= x ̅
Prove 7: (x+y) ̅= x ̅.y ̅
ស្រាយថាៈ {█((x+y)( x ̅.y ̅ )=0   (1)@(x+y)+( x ̅.y ̅ )=1     (2))┤  (I)
(1)(x+y)( x ̅.y ̅)=x x ̅  y ̅+ x ̅  y ̅y=0
(2)(x+y+ x ̅  y ̅=x+(y+ y ̅ )(y+ x ̅ ).(y+ y ̅=1)
(x+y) ̅= x ̅.y ̅+y=1 (I)ពិត ដូច្នេះ (លក្ខណៈ5)

*អនុគមន៍ Boolean: មានទំរង់ជាច្រើនដូចជាៈ
-Disjunctive Form: (ផលបូកនៃផលគុណ)
Ex: f(x1, x2, x3)=(x¬1x2)+(x2x3)
        -Conjunctive:
Ex: f(x1,x2,x3)=(x1 + x2+x3)(x2+x3)
        -Normal Form:
នៅក្នុងទំរង់នេះ កាលណាតួនីមួយៗ របស់វាមានអថេរទាំងអស់ នៅក្នុងទំរង់នេះមាន 2 ទៀតគឺៈ
-Disjunctive Normal Form:
Ex: f(x1,x2,x3) ដែលបង្ហាញដោយតារាងដូចខាងក្រោមៈ
Input Output
x1,x2,x3 f(x1,x2,x3)
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
 f(x1,x2,x3) =x1.x2.x3+x1.x ̅2.x ̅3+x1x ̅2x ̅3+x ̅1x2x3 +x ̅1x ̅2x3
-Conjunctive Normal Form:
` Ex: f(x1,x2,x3) ដែលបង្ហាញដោយតារាងដូចខាងក្រោមៈ
Input Output
x1 x2 x3 f(x1,x2,x3)
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1

 f(x1,x2,x3) =((x) ̅1+x ̅2+x3)(x1+x ̅2+x ̅3)(x ̅1+x2+x ̅3)
ការបង្រួមនៃអនុគមន៍ Boolean: (Minimization of a Boolean function)
គឺជាអនុគមន៍តែទៅលើលក្ខណៈគ្រឹះនិងទ្រឹស្តីបទ & ធ្វើតាមវិធីផ្សេងៗទៀតដែលយើងបានសិក្សារួចមកហើយ។
Ex: (i)- x+x ̅y ̅=(x+x ̅ )(x+y ̅)=x+y
(ii)- x ̅y ̅z+x ̅z+xy ̅=x ̅z(y ̅+1)+x(y ) ̅=x ̅z+xy ̅
(iii)- (x ̅+y)x=0+xy=x.y
(iv)- x ̅y ̅z+x ̅z+xy ̅=x ̅z(y ̅+1)+xy ̅=x ̅z+xy ̅
(v)- (x ̅+y)x=0+xy=x.y
ធាតុបំពេញនៃអនុគមន៍ Boolean:(Complement of Boolean Function)
ធាតុបំពេញនៃអនុគមន៍ F គឹ F ̅ ដែលឡើងពីការប្តូរពី 0 ទៅ 1 និង ពី 1 ទៅ 0
Ex: គេឲ្យតារាងនៃភាពពិត របស់អនុគមន៍ Boolean ដូចខាងក្រោមៈ

Input Output
x y z F F ̅
1 1 1 0 1
1 1 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 0 1 0
0 1 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 0 1
នៅក្នុង Boolean Algebra ធាតុបំពេញរបស់អនុគមន៍ Boolean គឺអាចទាញតាមទ្រឹស្តីបទ Morgan ដែលមានរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ
(A_1 A_2……A_n ) ̅ =A ̅1+A ̅2+……….+A ̅n
(A_1 A_2……A_n ) ̅ =A ̅1.A ̅2+……….A ̅n

                                   ∏_(i=1)^n ̅▒Ai=∑_(i=1)^n▒(Ai) ̅

                                   ∑_(i=1)^n ̅▒Ai=∏_(i=1)^n▒(Ai) ̅
ទំរង់ Minterm និង Maxterm
-Minterm: គឺជា Term មួយៗរបស់ Disjunctive Normal Form
-Maxterm: គឺជា Term មួយៗរបស់ Conjunctive Normal Form
Ex:
Input Output
x y z Min Max
1 1 1 xyz x ̅+y ̅+z
1 1 0 xyz x ̅+y ̅+z
1 0 1 xy ̅z x ̅+y+z
1 0 0 xy ̅z x ̅+y+z
0 1 1 x ̅yz x+y ̅+z
0 1 0 x ̅yz x+y ̅+z
0 0 1 x ̅( y) ̅ z x + y + z
0 0 0 x ̅( y) ̅ z x + y + z

Sum –of –Product
ទំរង់ផលបូកនៃផលគុណគឺជាផលបូកនៃ term មួយឬច្រើនឬផលបូកនៃ termច្រើននៃតក្កវិទ្យា។
Ex: (i)- F=xy’z + x’yz’
   (ii)- F= xyz + x’y’z + xy’z’
វាជាការងាយសស្រួលក្នុងការបំបែកអនុគមន៍ទៅជាទំរង Sum-of-Product ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍នោះមិនឋិតនៅក្នុងទំរង់ផលបូក យើងត្រូវពិនិត្យតួមួយៗតើវាមានអថេរទាំងអស់ឬទេ។ បើខ្វះអថេរមួយឬច្រើនយើងត្រូវគុណតួនោះជាមួយនិងកន្សោម (x+x’)។
Ex: ពន្លាត A + BC ទៅក្នុងទំរង Sum-of-Product
ដោយអនុគមន៍ F មានបីអថេរនោះគេបានៈ
.A(B+B’) = AB+AB’
= AB(C+C’)+AB’(C+C’)
= ABC+ABC’+AB’C+AB’C’
.BC =  BC(A+A’)=ABC+A’BC
F = ABC+A’BC+ABC’+AB’C+AB’C’
Product-of-Sum:
Ex: (i)- F=(x+y)(x+y’+z)
   (ii)- F=(x’+y’+z’)(x’+y)(x’+y+)
ទាំងអស់នេះសុទ្ឋតែជាទំរង់ product-of-Sum ។
របៀបរកអនុគមន៍ Boolean មួយនៅក្នុងទំរង់ Product-of-Sum:
-សង់តារាងភាពពិតសើម្បីធ្វើជាអនុគមន៍ Boolean មួយ។
-ទំរង់ Maxtermដែលបានមកពីការផ្សំរវាងតួនីមួយៗដេលមានផលបូកស្មើសូន្យ។
-យកកន្សោមផលគុណ Maxterm ដែលបានមកពីជំហ៊ានទីពីរ។
Ex: គេឲ្យតារាងភាពពិតដូចខាងក្រោមៈ

Input Output
A B C f(A,B,C)
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
តាមតារាងភាពពិតអនុគមន៍ f(A,B,C) Output មានតំលៃស្មើ0 រូបមានៈ
111 101 100 001 000
ដូចនេះគេបានៈ(A’+B’+C’) (A’+B+C) (A’+B+C) (A+B+C’) (A+B+C)
f(A,B,C)=(A’+B’+C’)(A’+B+C’)(A’+B+C)(A+B+C’)(A+B+C)

Logic Circuit (Gates)

សញ្ញាប្រមាណវិធីទាំងអស់ដែលប្រើក្នុង Computer គឺអនុវត្តន៍ដោយការផ្សំគ្នា ដោតតភ្ជាប់គ្នាដោយកំនត់ជា Block ដែលបង្កើជា Circuit ជាច្រើនដែលហៅថា Logic Gate។ម្យ៉ាងទៀត Logic Gate មួយគឺជា Electric Circuit ដែលប្រតិបត្តិមួយឬច្រើន ក្នុងការបញ្ចូលសញ្ញាដើម្បីឲ្យ បានលទ្ខផល ខាងក្រៅ។ Logic Gate ទាំងនេះបង្កើតឡើងដើម្បី ក្នុង Computer។
Note Gate
Not Gate គឺជាការផ្សំដែលបានមកពីប្រមាណវិធីធាតុបំពេញ។  ម្យ៉ាងទៀត Not Gate គេអាចហៅ Inverter ពីព្រោះវាបានមកពីការផ្ទុយនៃតំលៃដែលបានបញ្ចូល។ Not Gate តាងដោយនិមិត្តសញ្ញាដូចខាងក្រោមៈ



And Gate
And Gate គឺជាការផ្សំដែលបានមកពីប្រមាណវិធីផលគុណតក្កវិទ្យាហើយវាគឺជា Electric Circuit ដែលមានតំលៃស្មើ 1 កាលណាយើងបញ្ចូលតំលៃស្មើ 1ដែរ។ គេមានតារាងភាពពិតនិងនិមិត្តសញ្ញាដូចខាងក្រោមៈ
Input Output
A B f(A,B) =AB
1
1
0
0 1
0
1
0 1
0
0
0










Or Gate: គឺជាការផ្សំដែលបានមកពីប្រមាណវិធីបូក តក្កវិទ្យា ហើយវាគឺជា Electric Circuit ដែលមានតំលៃស្មើ 1 កាលណាយើង Input តំលៃស្មើ 1 យ៉ាងតិចក្នុងនោះ។ យើងមានតារាងភាពពិត និងសញ្ញាដូចជាៈ
Input Output
X Y f(X,Y)
1
1
0
0 1
0
1
0 1
1
1
0












4)- លក្ខណៈនៃប្រមាណវិធី And gate & Or gate
លក្ខណៈត្រលាប់ៈ






លក្ខណៈផ្តុំៈ










ធាតុណឺតៈ
A.1 = A ឬ (A.B) = A.B 
 A+0 = A ឬ (A+B)+0 = A + B




Ex1: សង់ Logic Circuit  នៃកន្សោមៈ
S = AB + EF + A ̅






     
Ex2: Determine a Boolean expression for each switching circuit .





S = (A+B).A.C = ABC

Ex3: Find Boolean Expression and the truth table for the logic circuit.











S = ABC ̅+ BC ̅+A ̅C







S=(B ̅+C).A+B.C ̅

Nand gate: គឺជាធាតុបំពេញរបស់ And gate ហើយវាមានតំលៃស្មើ 1 កាលណាបញ្ចូលតំលៃ 0 ។
យើងមានតារាងភាពពិត និងនិមិត្តសញ្ញាដូចខាងក្រោមៈ
Input Output
X Y f(X,Y)
1
1
0
0 1
0
1
0 0
1
1
1



សញ្ញា Nand gate អាចវិភាគដោយសមូលទៅនឹងប្លុកដ្យាក្រាម Circuit ដែលមាន And gate and Not gate។



Ex: សង់ Logic Circuit នៃកន្សោមមួយខាងក្រោមដោយប្រើ Nand to And gate ។
(i)- (A ̅+B ̅+C ̅  )(D ̅+E ̅)
(ii)- (A+B ̅+C)(A ̅+B)(B+C ̅)






Nor gate: គឹជាធាតុបំពេញនៃ Or gate ហើយវាជា Electronic  ដែលមានតំលៃស្មើ 1 ក្នុងករណីតែមួយគត់ដែលយើងបញ្ចូលតំលៃ 0។
គេមានតារាងធាតុពិត និងនិមិត្តសញ្ញាដូចខាងក្រោមៈ
Input Output
X Y Z
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1








សញ្ញាប្រមាណវិធី Nor gate អាចវិភាគ និង សមមូលទៅនឹងប្លុកដ្យាក្រាម Circuit Or gate and Not gate:





Ex: សង់ Logic នៃកន្សោមខាងក្រោមដោយប្រើ NOR to OR gate
(i)- AB+BC+(AC) ̅
(ii)- A ̅(B ) ̅+C ̅D ̅








Universal Nand Gate: វាជាប្រតិបត្តខ្លួនឯង ដើម្បីទាញឲ្យបាន And, OR, Not gate ។
(i)- Not gate implementation



(ii)- OR gate implementation:







(iii)- And gate implementation:




Note: Nand to Nand gate network is functionally equivalent to And gate to OR
Ex: សង់ Logic Circuit នៃកន្សោមខាងក្រោមៈ
Z=(A.B ̅.C ̅)+(AC)+((AB) ̅)
ដោយប្រើតែ Nand gate ។

Universal Nor Gate: គឺប្រតិបត្តិដោយខ្លួនឯង ដើម្បីទាញឲ្យបានឃើញប្រមាណវិធី And, OR Not gate។

(i)-



(ii)-






(iii)-





Note: Nor to Nor gate is functionally equivalent to OR to And gate ។
Ex: សង់ Logic Circuit ដែលបានពីកន្សោមៈ
S = AB+C(A+B.D) ដោយប្រើតែ Nor gate។
 
Exercises:
Consider the following three pairs of sequences of bits :
(i)  110000 (ii)  10101101 (iv)  101000111000
      101001        10101100         100101001100
How would each pair of sequences be processed by :
an OR gate ?
an AND gate ?
      2. How would a NOT gate process each sequence ?
(i)  110001 (ii)  10001111 (iii)  010011000111
      3. Given A = 1100110110
B = 1110000111
C = 1010010110
      Find (a) A+ B + C, (b) A.B.C, (c) ( A ̅  +B ), (d) A ((B+C) ̅  ) .
       4.Given five inputs : A,B,C,D and E find special sequences which give all the different  possible
          combinations of input bits.
          Each sequence will contain 25 = 32 bits. One assignment scheme is as follows :
Let A be assigned 24 = 16 bits which are 0s, followed by 24 = 16 bits which are 1s.
Let B be assigned 23 = 8 bits which are 0s, followed by 23 =  8 bits which are 1s; and then repeat once.
Let C be assigned 22 = 4 bits which are 0s, followed by 22 =  4 bits which are 1s; and then repeat three times.
Let D be assigned 21 = 2 bits which are 0s, followed by 21 =  2 bits which are 1s, and then repeat seven times .
Let E be assigned 20 =  1 bit which is 0s, followed by 20 =  1 bit which is 1s; and then repeat fifteen times.
Given A = 1100110110
B = 1110000111
C = 1010010110
            Find (a)- A+B+C ; (b)- A.B.C ; (c)- (A ̅ +B)  ; (d)- A ((B+C) ̅
Given three inputs A,B, and C. Find the truth tables of the eight fundamental product
A.B.C    ;  A.B.C ̅  ;  A. B ̅.C    ;  A. (B.) ̅ C ̅
A ̅.B.C    ;  A ̅. B .C ̅ ;  A ̅.B ̅.C     ;  A ̅.B ̅.C ̅
Note first that the special sequences for A, B, and C each contain 23  =  8 bits.
        7-Prepare a truth table for the following boolean  expressions:
xyz + x’y’z’
ABC +AB’C’ + A’B’C’
A(BC’ + B’C)
        8-Complement the following expressions:
x’y’ +xy’
xy’z + x’y
x’(y +z’)
x(yz’ + y’z)
xy (y’z + xz’)
xy + x’y’(yx’ + xý’)
         9-Simplify the following expressions:
ABC(ABC’ +AB’C +A’BC)
AB + AB’+A’C +A’C’
xy + xyz’ + xy’z’ +x’zy
xy(x’yz’ +xy’z’ + x’y’z’)
        10-Given four inputs. A. B. C. and D. find special sequences which give all the different posible
              combinations of inputs.
        11-Giveen A  = 1100110110
B  = 1110000111
C  = 1010010110
        find (a) A + B + C, (b) A. B.C, (c) C(A ̅ + B), (d) ((A+C) ̅)
        12-If A = 1100110111. B = 0001110110. C = 1010110011. evaluate
A + B (b) A + C (c) A. C (d) B . C (e) B((A+C) ̅)  (f)  A ̅+ B .C ̅
        13-wite each Boolean expressions E(x,y,z) as a sum of products. and then in complete sum-of
               -products form:
             (a)  x(xy’ + x’y + y’z)
(b)  (x+y’z) (y=z’)
(c)  (x+y)’ (xy’)’
  (d)  (x’+ y)’ +y’z
        14-Convert the following expressions to sum-of –products form :
(A + B) (B’ + C)(A’ + C)
(A’ + C) (A’ +B’ + C’) (A + B’)
(A + C ) (AB’ + AC) (A’C’ + B’)
A’B(B’C + B’C)
(A + BC’) (A’B’ + A’B)
(A’  +B)[AC’(B +C)]
(A’ +C)(AB + A’B’ +AC)
        15-Convert the following expressions to product-of-sums form :
A + A’B + A’C’
BC  + A’B
AB’(B’ + C’)
A’B’((B’C’ + B’C’)
(A + B’ + C)(AB +A’C)
(A’ + B’)AB’C
        16-Write the boolean expression(in sum-of –product form) for a logic circuit that will have a 1
          output when x = 0, y = 0, z = 1 and x = 1, y = 1, z = 0; and a 0 output for all other input states.
          Draw the block diagram for this circuit.
        17-Write the boolean expression(in sum-of product form) for a logic network that will have a 1
         output when x =1, y = 0, z = 0, x = 1, z  = 0; and x = 1 , y = 1, z = 1.
        The circuit will have a 0 output for all other sets of input values. Simplify the expressionderived
        and draw a block diagram for simplified expression.
        18-Derive the boolean algebra expression for a gating network that will have an output of 0 only
         when x = 1, y = 1, z = 1; x = 0, y = 0, z =0, x = 1, y = 0, z = 0.
        The outputs are to be 1 for all other cases.
        19-Let the following truth table :
Input Outputs
X Y Z F1 F2 F3
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1 0
0
1
1
1
0
1
1 0
1
1
1
0
1
1
0 1
1
1
0
0
0
1
1
 Develop sum-of –products and products –of –sums expression for F1,F2 and F3.
20.-Let the following truth table:





Input Outputs
X Y Z A
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1 0
1
1
0
0
1
1
0

Develop both the sum-of-products and products-of-sums expression that describe the function of A. Then simplify both expressions.
21.Consider the logic circuit:











(a)- Give the Output Y as a Boolean expression in the input: A, B, and C.
(b)- Find the truth table of the circuit.
22. Draw the logic circuit corresponding to each Boolean expression:
(a)- E1= (AB) ̅C +AB
(b)- E2 = (A+BC) ̅ +AB
(c)- E3 = ((AB) ̅ +C)+ (A+C) ̅
(d)- E4 = (A ̅+ (B ) ̅)+AB ̅
23.គេឲ្យកន្សោមដូចខាងក្រោមៈ
E = (A ̅+B)(A+B)(A ̅+B ̅+C)
F = E.(B+C ̅ )
G = E.(A ̅+C ̅)
តើកន្សោម E និង F ហើយ E និង G ស្មើគ្នាឬទេ? ចូរស្រាយបញ្ជាក់ បើស្មើឬខុសគ្នា។
24.ចូរសង់ Logic Circuit ដែលបានមកពីកន្សោម
Z=A.B ̅+((A ) ̅+B)(C+D)  ដោយប្រើតែ  NAND Gate ។
25. Determine the output of each flowchart.