Boolean Algebra, Logic Gates

Boolean Algebra, Logic Gates

Boolean Algebra
នៅក្នុងឆ្នាំ ១៨៥៤ លោក George Boole ដែលជាទស្សនៈវិទូរ និងជាអ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិអង់គ្លេសបានបង្កើតគណិតវិទ្យានេះឡើង។
និយមន័យៈ
-ស្ថានភាព Logic តាងដោយ 0 និង 1
-អថេរ Logic ត្រូវបានតាងដោយ ព្យញ្ជនៈ ឬ និមិត្តសញ្ញាផ្សេងៗដែលអាចមានតម្លៃ 0 និង 1 ទៅតាមលក្ខខ័ណ្ឌ
តារាងភាពពិតរបស់អនុគមន៍ៈ
បើអនុគមន៍មួយមាន n អថេរនោះតារាងភាពពិតរបស់អនុគមន៍នោះគឺជាតារាងមួយដែរមាន(n+1) ជួរនិង 2nបន្ទាត់។
Ex: ចំពោះ n=2 អនុគមន៍មានពីរអថេរៈ f(A,B) = A.B
Input Output
A B f(A,B) = A.B
1
1
0
0 1
0
1
0 1
0
0
0




អនុគមន៍ Logic ដំបូងៈ
អនុគមន៍Logic ដំបូងមានតែបីប៉ុន្នោះគឺ
-អនុគមន៍ Logic នឹង (and) (ផលគុណ Logic)
- អនុគមន៍ Logic ឬ (or) (ផលបូក Logic)
- អនុគមន៍ Logic មិន (note) 
អនុគមន៍ Logic និង (and)
អនុគមន៍ Logic និង ប្រើសំរាប់ភ្ជាប់អថេរ2 ឬច្រើនហើយវាមានតំលែស្មើ 1 ក្នុងករណីដែលយើង Input 1
Input Output
A B f(A,B) = A and B
1
1
0
0 1
0
1
0 1
0
0
0
បកស្រាយតាម សៀគ្វីអគ្គិសនី



តាមរូប Circuit គេបាន
-បើ អាំងទែរុបទ័រ A បិទ  A=1
-បើ អាំងទែរុបទ័រ B បិទ  B=1
-អំពូលភ្លឺកាលណា A and B បិទព្រមគ្នា (i.e A.B=1)

អនុគមន៍ Logic រឺ (or): ប្រើសំរាប់ភ្ជាប់ អថេរ2 ឬច្រើនហើយវាមានតំលៃស្មើមួយយ៉ាងតិច
តារាងភាពពិត
Input Output
A B f(A,B) = A + B
1
1
0
0 1
0
1
0 1
1
1
0
បកស្រាយតាម Circuit អគ្គសនីៈ




-អំពូលភ្លឺកាលណា  A ឬ B បិទ។
អនុគមន៍ Logic មិន (Not)
គឺជាអនុគមន៍នៃមួយអថេរ ដែលមាននិមិត្តរូប ( - ) អានថា បារដាក់ពីលើអថេរ។
តារាងភាពពិតៈ
Input Output
A F(A) = A ̅
1
0 0
1
លក្ខណៈនៃអនុគមន៍ Boolean
លក្ខណៈទី1(Identity laws)
A+0=A (0 ជាធាតុណឺតចំពោះ +)
A.1=A (1 ជាធាតុណឺតចំពោះ x)
លក្ខណៈត្រលប់ (commutative)
_A+B=B+A
_A.B=B.A
លក្ខណៈផ្តុំ (Associative laws)
A+(B+C)=(A+B)+C
A.(B.C)=(A.B).C
លក្ខណៈបំបែក (Distributive)
A+(A+B)=AB+AC
A+(B.C)=(A+B)(A+C)
Complement laws:
A +( A) ̅ = 1
A .  A ̅ = 0
លក្ខណៈទាំងអស់ ខាងលើជាមូលដ្ឋានគ្រឹស ដែលប្រើប្រាស់សំរាប់ ស្រាយបញ្ញាក់ទ្រឹស្តីបទរបស់  Boolean Algebra

គោលការណ៍អនុគមន៍ Boolean Algebra:
រាល់អនុគមន៍ Logic ទាំងអស់នៅតែពិតដដែល បើកាលណាគេជំនួស (+) ដោយ (*) និង 0 ដោយ 1 ហើយកាលណាបើគេ ជំនួស (  ) ដោយ (+) និង 1 ដោយ 0។


Theorem of Boolean Function
Theorem1:
-x+x=x
-x.x=x
-x+x  =(x+x)1=(x+x)(x+x ̅ )=x+x.x+x ̅
= x+0 = x
-x.x=x.x+0=x.x+x.x ̅
Theorem2:
x+1=1
x.0
Proof:
-x+1=x+x+x ̅=x+x ̅=1,x.0=x.x.x ̅=0

-x+(x.y)=x
-x+(x+y)=x

-x.(x ̅+y)=xy
-x.(x ̅.y)=x+y


In the Boolean Algebra Theorem if (x+y)=1 and x.y=0 y=x ̅

 x ̅=x
(Morgan)
-((x+y) ̅ )=x ̅.y ̅
-((x.y) ̅ )=x ̅+y ̅
ចំពោះច្រើនអថេរៈ

                             ∑_(i=1)^n▒〖Ai=∏_(i=1)^n▒(Ai) ̅ 〗
                             ∑_(i=1)^n▒〖(Ai) ̅=∏_(i=1)^n▒Ai〗
Proof 5:  y  = y + 0
    = y + x.x ̅ = (y+x)(y+x ̅)
    = 1.(y+ x ̅)=(x+ x ̅)(y+x ̅)
    =  x ̅+x.y= x ̅
Prove 7: (x+y) ̅= x ̅.y ̅
ស្រាយថាៈ {█((x+y)( x ̅.y ̅ )=0   (1)@(x+y)+( x ̅.y ̅ )=1     (2))┤  (I)
(1)(x+y)( x ̅.y ̅)=x x ̅  y ̅+ x ̅  y ̅y=0
(2)(x+y+ x ̅  y ̅=x+(y+ y ̅ )(y+ x ̅ ).(y+ y ̅=1)
(x+y) ̅= x ̅.y ̅+y=1 (I)ពិត ដូច្នេះ (លក្ខណៈ5)

*អនុគមន៍ Boolean: មានទំរង់ជាច្រើនដូចជាៈ
-Disjunctive Form: (ផលបូកនៃផលគុណ)
Ex: f(x1, x2, x3)=(x¬1x2)+(x2x3)
        -Conjunctive:
Ex: f(x1,x2,x3)=(x1 + x2+x3)(x2+x3)
        -Normal Form:
នៅក្នុងទំរង់នេះ កាលណាតួនីមួយៗ របស់វាមានអថេរទាំងអស់ នៅក្នុងទំរង់នេះមាន 2 ទៀតគឺៈ
-Disjunctive Normal Form:
Ex: f(x1,x2,x3) ដែលបង្ហាញដោយតារាងដូចខាងក្រោមៈ
Input Output
x1,x2,x3 f(x1,x2,x3)
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
 f(x1,x2,x3) =x1.x2.x3+x1.x ̅2.x ̅3+x1x ̅2x ̅3+x ̅1x2x3 +x ̅1x ̅2x3
-Conjunctive Normal Form:
` Ex: f(x1,x2,x3) ដែលបង្ហាញដោយតារាងដូចខាងក្រោមៈ
Input Output
x1 x2 x3 f(x1,x2,x3)
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1

 f(x1,x2,x3) =((x) ̅1+x ̅2+x3)(x1+x ̅2+x ̅3)(x ̅1+x2+x ̅3)
ការបង្រួមនៃអនុគមន៍ Boolean: (Minimization of a Boolean function)
គឺជាអនុគមន៍តែទៅលើលក្ខណៈគ្រឹះនិងទ្រឹស្តីបទ & ធ្វើតាមវិធីផ្សេងៗទៀតដែលយើងបានសិក្សារួចមកហើយ។
Ex: (i)- x+x ̅y ̅=(x+x ̅ )(x+y ̅)=x+y
(ii)- x ̅y ̅z+x ̅z+xy ̅=x ̅z(y ̅+1)+x(y ) ̅=x ̅z+xy ̅
(iii)- (x ̅+y)x=0+xy=x.y
(iv)- x ̅y ̅z+x ̅z+xy ̅=x ̅z(y ̅+1)+xy ̅=x ̅z+xy ̅
(v)- (x ̅+y)x=0+xy=x.y
ធាតុបំពេញនៃអនុគមន៍ Boolean:(Complement of Boolean Function)
ធាតុបំពេញនៃអនុគមន៍ F គឹ F ̅ ដែលឡើងពីការប្តូរពី 0 ទៅ 1 និង ពី 1 ទៅ 0
Ex: គេឲ្យតារាងនៃភាពពិត របស់អនុគមន៍ Boolean ដូចខាងក្រោមៈ

Input Output
x y z F F ̅
1 1 1 0 1
1 1 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 0 1 0
0 1 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 0 1
នៅក្នុង Boolean Algebra ធាតុបំពេញរបស់អនុគមន៍ Boolean គឺអាចទាញតាមទ្រឹស្តីបទ Morgan ដែលមានរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ
(A_1 A_2……A_n ) ̅ =A ̅1+A ̅2+……….+A ̅n
(A_1 A_2……A_n ) ̅ =A ̅1.A ̅2+……….A ̅n

                                   ∏_(i=1)^n ̅▒Ai=∑_(i=1)^n▒(Ai) ̅

                                   ∑_(i=1)^n ̅▒Ai=∏_(i=1)^n▒(Ai) ̅
ទំរង់ Minterm និង Maxterm
-Minterm: គឺជា Term មួយៗរបស់ Disjunctive Normal Form
-Maxterm: គឺជា Term មួយៗរបស់ Conjunctive Normal Form
Ex:
Input Output
x y z Min Max
1 1 1 xyz x ̅+y ̅+z
1 1 0 xyz x ̅+y ̅+z
1 0 1 xy ̅z x ̅+y+z
1 0 0 xy ̅z x ̅+y+z
0 1 1 x ̅yz x+y ̅+z
0 1 0 x ̅yz x+y ̅+z
0 0 1 x ̅( y) ̅ z x + y + z
0 0 0 x ̅( y) ̅ z x + y + z

Sum –of –Product
ទំរង់ផលបូកនៃផលគុណគឺជាផលបូកនៃ term មួយឬច្រើនឬផលបូកនៃ termច្រើននៃតក្កវិទ្យា។
Ex: (i)- F=xy’z + x’yz’
   (ii)- F= xyz + x’y’z + xy’z’
វាជាការងាយសស្រួលក្នុងការបំបែកអនុគមន៍ទៅជាទំរង Sum-of-Product ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍នោះមិនឋិតនៅក្នុងទំរង់ផលបូក យើងត្រូវពិនិត្យតួមួយៗតើវាមានអថេរទាំងអស់ឬទេ។ បើខ្វះអថេរមួយឬច្រើនយើងត្រូវគុណតួនោះជាមួយនិងកន្សោម (x+x’)។
Ex: ពន្លាត A + BC ទៅក្នុងទំរង Sum-of-Product
ដោយអនុគមន៍ F មានបីអថេរនោះគេបានៈ
.A(B+B’) = AB+AB’
= AB(C+C’)+AB’(C+C’)
= ABC+ABC’+AB’C+AB’C’
.BC =  BC(A+A’)=ABC+A’BC
F = ABC+A’BC+ABC’+AB’C+AB’C’
Product-of-Sum:
Ex: (i)- F=(x+y)(x+y’+z)
   (ii)- F=(x’+y’+z’)(x’+y)(x’+y+)
ទាំងអស់នេះសុទ្ឋតែជាទំរង់ product-of-Sum ។
របៀបរកអនុគមន៍ Boolean មួយនៅក្នុងទំរង់ Product-of-Sum:
-សង់តារាងភាពពិតសើម្បីធ្វើជាអនុគមន៍ Boolean មួយ។
-ទំរង់ Maxtermដែលបានមកពីការផ្សំរវាងតួនីមួយៗដេលមានផលបូកស្មើសូន្យ។
-យកកន្សោមផលគុណ Maxterm ដែលបានមកពីជំហ៊ានទីពីរ។
Ex: គេឲ្យតារាងភាពពិតដូចខាងក្រោមៈ

Input Output
A B C f(A,B,C)
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
តាមតារាងភាពពិតអនុគមន៍ f(A,B,C) Output មានតំលៃស្មើ0 រូបមានៈ
111 101 100 001 000
ដូចនេះគេបានៈ(A’+B’+C’) (A’+B+C) (A’+B+C) (A+B+C’) (A+B+C)
f(A,B,C)=(A’+B’+C’)(A’+B+C’)(A’+B+C)(A+B+C’)(A+B+C)

Logic Circuit (Gates)

សញ្ញាប្រមាណវិធីទាំងអស់ដែលប្រើក្នុង Computer គឺអនុវត្តន៍ដោយការផ្សំគ្នា ដោតតភ្ជាប់គ្នាដោយកំនត់ជា Block ដែលបង្កើជា Circuit ជាច្រើនដែលហៅថា Logic Gate។ម្យ៉ាងទៀត Logic Gate មួយគឺជា Electric Circuit ដែលប្រតិបត្តិមួយឬច្រើន ក្នុងការបញ្ចូលសញ្ញាដើម្បីឲ្យ បានលទ្ខផល ខាងក្រៅ។ Logic Gate ទាំងនេះបង្កើតឡើងដើម្បី ក្នុង Computer។
Note Gate
Not Gate គឺជាការផ្សំដែលបានមកពីប្រមាណវិធីធាតុបំពេញ។  ម្យ៉ាងទៀត Not Gate គេអាចហៅ Inverter ពីព្រោះវាបានមកពីការផ្ទុយនៃតំលៃដែលបានបញ្ចូល។ Not Gate តាងដោយនិមិត្តសញ្ញាដូចខាងក្រោមៈ



And Gate
And Gate គឺជាការផ្សំដែលបានមកពីប្រមាណវិធីផលគុណតក្កវិទ្យាហើយវាគឺជា Electric Circuit ដែលមានតំលៃស្មើ 1 កាលណាយើងបញ្ចូលតំលៃស្មើ 1ដែរ។ គេមានតារាងភាពពិតនិងនិមិត្តសញ្ញាដូចខាងក្រោមៈ
Input Output
A B f(A,B) =AB
1
1
0
0 1
0
1
0 1
0
0
0










Or Gate: គឺជាការផ្សំដែលបានមកពីប្រមាណវិធីបូក តក្កវិទ្យា ហើយវាគឺជា Electric Circuit ដែលមានតំលៃស្មើ 1 កាលណាយើង Input តំលៃស្មើ 1 យ៉ាងតិចក្នុងនោះ។ យើងមានតារាងភាពពិត និងសញ្ញាដូចជាៈ
Input Output
X Y f(X,Y)
1
1
0
0 1
0
1
0 1
1
1
0












4)- លក្ខណៈនៃប្រមាណវិធី And gate & Or gate
លក្ខណៈត្រលាប់ៈ






លក្ខណៈផ្តុំៈ










ធាតុណឺតៈ
A.1 = A ឬ (A.B) = A.B 
 A+0 = A ឬ (A+B)+0 = A + B




Ex1: សង់ Logic Circuit  នៃកន្សោមៈ
S = AB + EF + A ̅






     
Ex2: Determine a Boolean expression for each switching circuit .





S = (A+B).A.C = ABC

Ex3: Find Boolean Expression and the truth table for the logic circuit.











S = ABC ̅+ BC ̅+A ̅C







S=(B ̅+C).A+B.C ̅

Nand gate: គឺជាធាតុបំពេញរបស់ And gate ហើយវាមានតំលៃស្មើ 1 កាលណាបញ្ចូលតំលៃ 0 ។
យើងមានតារាងភាពពិត និងនិមិត្តសញ្ញាដូចខាងក្រោមៈ
Input Output
X Y f(X,Y)
1
1
0
0 1
0
1
0 0
1
1
1



សញ្ញា Nand gate អាចវិភាគដោយសមូលទៅនឹងប្លុកដ្យាក្រាម Circuit ដែលមាន And gate and Not gate។



Ex: សង់ Logic Circuit នៃកន្សោមមួយខាងក្រោមដោយប្រើ Nand to And gate ។
(i)- (A ̅+B ̅+C ̅  )(D ̅+E ̅)
(ii)- (A+B ̅+C)(A ̅+B)(B+C ̅)






Nor gate: គឹជាធាតុបំពេញនៃ Or gate ហើយវាជា Electronic  ដែលមានតំលៃស្មើ 1 ក្នុងករណីតែមួយគត់ដែលយើងបញ្ចូលតំលៃ 0។
គេមានតារាងធាតុពិត និងនិមិត្តសញ្ញាដូចខាងក្រោមៈ
Input Output
X Y Z
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1








សញ្ញាប្រមាណវិធី Nor gate អាចវិភាគ និង សមមូលទៅនឹងប្លុកដ្យាក្រាម Circuit Or gate and Not gate:





Ex: សង់ Logic នៃកន្សោមខាងក្រោមដោយប្រើ NOR to OR gate
(i)- AB+BC+(AC) ̅
(ii)- A ̅(B ) ̅+C ̅D ̅








Universal Nand Gate: វាជាប្រតិបត្តខ្លួនឯង ដើម្បីទាញឲ្យបាន And, OR, Not gate ។
(i)- Not gate implementation



(ii)- OR gate implementation:







(iii)- And gate implementation:




Note: Nand to Nand gate network is functionally equivalent to And gate to OR
Ex: សង់ Logic Circuit នៃកន្សោមខាងក្រោមៈ
Z=(A.B ̅.C ̅)+(AC)+((AB) ̅)
ដោយប្រើតែ Nand gate ។

Universal Nor Gate: គឺប្រតិបត្តិដោយខ្លួនឯង ដើម្បីទាញឲ្យបានឃើញប្រមាណវិធី And, OR Not gate។

(i)-



(ii)-






(iii)-





Note: Nor to Nor gate is functionally equivalent to OR to And gate ។
Ex: សង់ Logic Circuit ដែលបានពីកន្សោមៈ
S = AB+C(A+B.D) ដោយប្រើតែ Nor gate។
 
Exercises:
Consider the following three pairs of sequences of bits :
(i)  110000 (ii)  10101101 (iv)  101000111000
      101001        10101100         100101001100
How would each pair of sequences be processed by :
an OR gate ?
an AND gate ?
      2. How would a NOT gate process each sequence ?
(i)  110001 (ii)  10001111 (iii)  010011000111
      3. Given A = 1100110110
B = 1110000111
C = 1010010110
      Find (a) A+ B + C, (b) A.B.C, (c) ( A ̅  +B ), (d) A ((B+C) ̅  ) .
       4.Given five inputs : A,B,C,D and E find special sequences which give all the different  possible
          combinations of input bits.
          Each sequence will contain 25 = 32 bits. One assignment scheme is as follows :
Let A be assigned 24 = 16 bits which are 0s, followed by 24 = 16 bits which are 1s.
Let B be assigned 23 = 8 bits which are 0s, followed by 23 =  8 bits which are 1s; and then repeat once.
Let C be assigned 22 = 4 bits which are 0s, followed by 22 =  4 bits which are 1s; and then repeat three times.
Let D be assigned 21 = 2 bits which are 0s, followed by 21 =  2 bits which are 1s, and then repeat seven times .
Let E be assigned 20 =  1 bit which is 0s, followed by 20 =  1 bit which is 1s; and then repeat fifteen times.
Given A = 1100110110
B = 1110000111
C = 1010010110
            Find (a)- A+B+C ; (b)- A.B.C ; (c)- (A ̅ +B)  ; (d)- A ((B+C) ̅
Given three inputs A,B, and C. Find the truth tables of the eight fundamental product
A.B.C    ;  A.B.C ̅  ;  A. B ̅.C    ;  A. (B.) ̅ C ̅
A ̅.B.C    ;  A ̅. B .C ̅ ;  A ̅.B ̅.C     ;  A ̅.B ̅.C ̅
Note first that the special sequences for A, B, and C each contain 23  =  8 bits.
        7-Prepare a truth table for the following boolean  expressions:
xyz + x’y’z’
ABC +AB’C’ + A’B’C’
A(BC’ + B’C)
        8-Complement the following expressions:
x’y’ +xy’
xy’z + x’y
x’(y +z’)
x(yz’ + y’z)
xy (y’z + xz’)
xy + x’y’(yx’ + xý’)
         9-Simplify the following expressions:
ABC(ABC’ +AB’C +A’BC)
AB + AB’+A’C +A’C’
xy + xyz’ + xy’z’ +x’zy
xy(x’yz’ +xy’z’ + x’y’z’)
        10-Given four inputs. A. B. C. and D. find special sequences which give all the different posible
              combinations of inputs.
        11-Giveen A  = 1100110110
B  = 1110000111
C  = 1010010110
        find (a) A + B + C, (b) A. B.C, (c) C(A ̅ + B), (d) ((A+C) ̅)
        12-If A = 1100110111. B = 0001110110. C = 1010110011. evaluate
A + B (b) A + C (c) A. C (d) B . C (e) B((A+C) ̅)  (f)  A ̅+ B .C ̅
        13-wite each Boolean expressions E(x,y,z) as a sum of products. and then in complete sum-of
               -products form:
             (a)  x(xy’ + x’y + y’z)
(b)  (x+y’z) (y=z’)
(c)  (x+y)’ (xy’)’
  (d)  (x’+ y)’ +y’z
        14-Convert the following expressions to sum-of –products form :
(A + B) (B’ + C)(A’ + C)
(A’ + C) (A’ +B’ + C’) (A + B’)
(A + C ) (AB’ + AC) (A’C’ + B’)
A’B(B’C + B’C)
(A + BC’) (A’B’ + A’B)
(A’  +B)[AC’(B +C)]
(A’ +C)(AB + A’B’ +AC)
        15-Convert the following expressions to product-of-sums form :
A + A’B + A’C’
BC  + A’B
AB’(B’ + C’)
A’B’((B’C’ + B’C’)
(A + B’ + C)(AB +A’C)
(A’ + B’)AB’C
        16-Write the boolean expression(in sum-of –product form) for a logic circuit that will have a 1
          output when x = 0, y = 0, z = 1 and x = 1, y = 1, z = 0; and a 0 output for all other input states.
          Draw the block diagram for this circuit.
        17-Write the boolean expression(in sum-of product form) for a logic network that will have a 1
         output when x =1, y = 0, z = 0, x = 1, z  = 0; and x = 1 , y = 1, z = 1.
        The circuit will have a 0 output for all other sets of input values. Simplify the expressionderived
        and draw a block diagram for simplified expression.
        18-Derive the boolean algebra expression for a gating network that will have an output of 0 only
         when x = 1, y = 1, z = 1; x = 0, y = 0, z =0, x = 1, y = 0, z = 0.
        The outputs are to be 1 for all other cases.
        19-Let the following truth table :
Input Outputs
X Y Z F1 F2 F3
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1 0
0
1
1
1
0
1
1 0
1
1
1
0
1
1
0 1
1
1
0
0
0
1
1
 Develop sum-of –products and products –of –sums expression for F1,F2 and F3.
20.-Let the following truth table:





Input Outputs
X Y Z A
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1 0
1
1
0
0
1
1
0

Develop both the sum-of-products and products-of-sums expression that describe the function of A. Then simplify both expressions.
21.Consider the logic circuit:











(a)- Give the Output Y as a Boolean expression in the input: A, B, and C.
(b)- Find the truth table of the circuit.
22. Draw the logic circuit corresponding to each Boolean expression:
(a)- E1= (AB) ̅C +AB
(b)- E2 = (A+BC) ̅ +AB
(c)- E3 = ((AB) ̅ +C)+ (A+C) ̅
(d)- E4 = (A ̅+ (B ) ̅)+AB ̅
23.គេឲ្យកន្សោមដូចខាងក្រោមៈ
E = (A ̅+B)(A+B)(A ̅+B ̅+C)
F = E.(B+C ̅ )
G = E.(A ̅+C ̅)
តើកន្សោម E និង F ហើយ E និង G ស្មើគ្នាឬទេ? ចូរស្រាយបញ្ជាក់ បើស្មើឬខុសគ្នា។
24.ចូរសង់ Logic Circuit ដែលបានមកពីកន្សោម
Z=A.B ̅+((A ) ̅+B)(C+D)  ដោយប្រើតែ  NAND Gate ។
25. Determine the output of each flowchart.

Sets and Relations

Sets and Relations

និយមន័យៈសំនុំគឺជាការប្រមូលផ្ដុំរឺប្រជុំវត្តុ(មានជីវត) ទាំងឡាយដែលគេ តំរូវអោយមានលក្ខណះរួម មួយហៅថា  ធាតុនៃសំនុំ ។

គេតាងសំនុំដោយអក្សរ A,  B,  C, ...................។

គេតាងធាតុនៃសំនុំដោយអក្សរ a , b , c   ...............។

+ បើ  a  ជាធាតុមួយនៃសំនុំ E គេសរសេរ : “ a  E  “ រឺ “  E    a “  ។

+ បើសរសេរ a ជាធាតុមួយហើយ E ជាសំនុំមួយនោះគេបាន  :

a   E ពិត រឺ a   មិនពិត

ការកំនត់សំនុំ : គេកំនត់សំនុំ តាម ពីរ របៀប គឺ : 

ដោយអោយធាតុរបស់វា  ។

ដោយអោយលក្ខណះ ធាតុរបស់វាហើយគេសរសេរធាតុនៃសំនុំនៅក្នុង { ........}  ។

Ex : (i) – E = {a, b, c, }

(ii) – IN = {0 , 1 , 2, ............. }

(iii)- E = { x  IR / x2 –x = 0 } =  { 0 , 1 , -1 }

(IV)- E = { x  IN / x ជាចំនួនបឋមតូចជាង 20 }

=  { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19    }

សំនុំស្មើគ្នា: គេថា សំនុំE និងសំនុំ F ជាសំនុំស្មើគ្នាដែលសរសេរ E = F កាលណាវាមានធាតុស្មើគ្នា រឺ ដូចគ្នា

E = F  ( x , xE   x F )

សំនុំរង រឺ ផ្នែកនៃសំនុំ:

និយមន័យៈ E ជាសំនុំមួយ F ជាសំនុំមួយទៀតគេថា F ជាសំនុំរង រឺ ផែ្នកនៃសំនុំ E កាលណាមានធាតុ ទាំងអស់សុទ្ធ ជាធាតុ នៃ E  ។ 

គេសរសេរ “ F  E ” អានថា F នៅក្នុង E រឺ “ E  F ” អានថា E មាន F នៅក្នុង ។

តាមនិយមន័យគេបាន : ( F  E )  ( x ,x F  x   E )

ដ្យាក្រាមវិន

ហើយ E = F  E  F  F  E

Ex : (i)- E = { a, b, c, d  }

គេបាន : { a} , { b} , { c} , {a, b }, { a, c } , { b, c } , { a, b, c } សុទ្ធតែជាសំនុំ រងនៃ E ។

(ii)- E = IN  = { 0 , 1 , 2 , 3 ,............}

សំនុំចំនួនគូ P = { 0 , 2 , 4 , 6 ,.............}

សំនុំចំនួនសេស I = {  1 , 3 , 5 , ............}

សំនុំពហុគុណនៃ 3  F = { 0 , 3 , 6 , 9 ,.....}

សុទ្ធតៃជាសំនុំរង នៃ IN  ។

សំនុំទទេ: សំនុំទទេតាងដោយ  “ ” ជាសំនុំដែលគ្មានធាតុ i.e សំណើ “x  ”  ជាសំណើមិនពិត  x

Ex : (i)- { x   IR / x2 < 0 }  = 

(ii)- { x IN / x2 –x -1 = 0 } = 

ទ្រឹស្តីបទៈ Theorem :

(i)- ចំពោះគ្រប់សំនុំ  E  គេបាន  E  E

E  ហៅថាផ្នែកពេញនៃ E ។

(ii)- ចំពោះគ្រប់សំនុំ E គេបាន   E

 គេហៅថា  ផ្នែកទទេនៃ  E ។

Proof : (i)- E  E  ព្រោះ x , x  E   x  E  ជាសំណើពិត ។

(ii)-    E  ព្រោះ  x , x     x  E  សំណើពិត  ។

Note : បើ  F  E , F E , F   នោះ F ហៅថាសំនុំ រង នៃ E  ។

សំនុំរងបំពេញ : 

E  ជាសំនុំមួយ  ,A ជាសំនុំ រងមួយនៃ  E ។

ដែលហៅថាសំនុំរង បំពេញ នៃ A  E គឺជាសំនុំរងនៃ E ដែលមានធាតុទាំងអស់ជាធាតុនៃ E  តែមិនមែនជាធាតុនៃ A ។ គេតាងវាដោយ   A ̅=C_E^A

ដ្យាក្រាមវិន

ដូចនេះ     A ̅ = { x     E /  x    A  }

Ex           E={ a,b ,c,d,e }

A =  {  a,c,e }  , B ={ a,b,c }

   គេបាន A ̅  = { b,d }

B ̅ = {  d,e  }

លក្ខណ:  (i) - A ̿  =A

  (ii)-(E ) ̅=  , ̅   = E

           

សំនុំផ្នែកនៃ E

 បើ E ជាសំនុំមួយនោះគ្រួសារសំនុំ រងទាំងអស់  E បងើ្កតបានសំនុំមួយហៅថា សំនុំផ្នែកនៃE គេតាងដោយ P(E)។

Ex : (i)- E =  គេបាន P(E) = {}

(ii)- E = { a }

       P(E) = {  , {a} }

(iii)- E = {  a , b }

       P (E) = {  , {a} , {b} , {a , b} }

(iv)- E = { a , b, c }

         P (E)= { , {a} ,{b} ,{c} ,{a ,b } , {a ,c } ,{ b, c } , {a , b , c }}

Note : ជាទូទៅបើ E ជាសំនុំមួយដែលមាន n ធាតុ នោះ P(E) ជាសំនុំមួយដែលមាន 2n ធាតុ ។

ប្រមាណវិធីលើសំនុំៈ ផ្នែកនេះគេយកសំនុំ E ជាសំនុំសកលហើយសំនុំឯទៀតៗ ដូចជា A , B , C , D .......

ប្រសព្វនៃពីសំនុំៈ

 បើ A , B ជាសំនុំរងនៃ E ។

A  B= { x  E /x  B }

Ex : A = { a, b, c, d} , B = { a, c, d}

 A  B = { a, c }

លក្ខណះ

A  B = B  A

A  A = A

A E = A

A   = 

A∩A ̅ =  

( A  B )  C = A  ( B  C )

គេអាចសរសេរ  A  B  C  ។

ជាទូទៅបើ  A1 , A2.............An ជា n សំនុំរងនៃ E នោះគេបាន :

⋂_(i=1)^n▒A_i =ប្រជុំនៃពីសំនុំៈ 

A1  A2  A3  ......... An 

∑_(i=1)^n▒x_i =x_1+x_(2 )+ x_3 +...........+ x_n

∏_(i=1)^n▒x_i = x_1+ x_2+ x_3……….+x_n 

    (vii)- A  B  A , A  B  B

ប្រជុំនៃពីសំនុំៈ

 បើ A , B ជាសំនុំរងនៃ  E  ។ គេកំណត់ សរសេរ

A B = { x E / x  A  x  B }

Ex : A = { a, b, c, e } , B = { a, c, d, f }

 A  B = { a, b, c, d, e, f }

លក្ខណះ

(i)- A  B = B  A

(ii)- A  A = A

(iii)- A  E = E

(iv)- A   = A

(v)- A  A ̅  = E

(vi)- A  A  B , B  A  B

(Vii)- ( A  B )  C = A  ( B  C )

គេអាចសរសេរ A  B  C  ។

ជាទូទៅបើ A1 , A2 ,.................,An ជា n សំនុំរងនៃ E នោះគេបាន :

⋃_(i=1)^n▒A_i = A1  A2  A3  .............. An

លក្ខណៈទំនាក់ទំនងគ្នារវាងប្រសព្វ និងប្រេជុំៈ

លក្ខណៈបំបែកៈ

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

ច្បាប់ Morgan:

(A∩B) ̅=A ̅∪B ̅

(A∪B) ̅=A ̅∩B ̅

ផលដកនៃពីរសំនុំៈ

បើំ A, B ជាសំនុំរងនៃ E នោះគេបានៈ 

A\B={x∈E\x∈A∧x∉B}

ដ្យាក្រាមវិន

លក្ខណៈ

(i)- A \B និង B \A ជាសំនុំពីរដាច់គ្នា។ (សំនុំពីរដាច់គ្នាកាលណា វាមានប្រសព្វស្មើ  )

(ii)- A\B =A\(A B)

(iii)- A\A= 

(iv)- A\ =A

Ex: A={1,2,4,5,7,8}  ,B={1,3,6,7,9}

 A\B={2,4,5,8}

     B\A={3,6,9    }

*បរិមាណករតគ្គវិទ្យាៈ

បើគេឲ្យសំនុំ E មួយហើយអនុគមន៍សំណើ P.(x) មួយដែល x ប្រេប្រួលក្នុងនោះគេបានៈ 

A={xE/P(x)} ជាសំនុំរងមួយនៃ E : ពីរករណី កើនឡើង

បើ A=E មានន័យថា ធាតុទាំងអស់នៃ E សុទ្ឋតែមានលក្ខណៈ P ដែលគេសរសេរៈ

“∀x∈E ,P(x)” , ∀ ហៅថាបរិមាណករគ្រប់។

បើ A≠ , A≠E          i.e ជាធាតុខ្លះនៃ E ដែលមានលក្ខណៈ P នោះសរសេរៈ 

“∃x∈E ,P(x)  "រឺ  "∃x,x∈E ,P(x)”

∃ ហៅថាបរិមាណករមានៈ

Ex: យើងគេយក E=IR គេបានៈ

“∀x∈IR ,x^2≥0”

“∃x ∈IR ,x^2-1=0”

“∃x∈IR,x^2-1<0”

វិបាកៈ    (A⊂E )  ⟺(∀x ,x∈A⟹x ∈E)

(E=F )  ⟺(∀x ,x∈E ⟹x ∈F)

(E≠F )  ⟺(∀x ,x∈E ⟹x ∉F)

ឈ្នាប់មិននៃសំនើមានបរិមាណករ

+  (∀x ∈E ,P(x))≡(∃x∈E , P(x)) 

+ (∃x ∈E ,P(x))≡(∀x∈E , P(x))

Ex: (i)  (∀x ∈E ,P(x)q(x)≡(∃x∈E , P(x)q(x))

       (ii)  (∃x ∈E ,P(x)q(x)≡(∀x∈E ,P(x)q(x))

Note:  (pq)≡(p∧q) 

 ទំនាក់ទំនងទ្វេធាតុ

ផលគុណដេកាតនៃសំនុំៈ

គូត្រីធាតុ -n ធាតុៈ

+ គូ xy ជាសំនុំមាន លំដាប់ហើយមានពីរធាតុដែលគេសរសេរ (x,y)

x ជាគូអដោនេទីមួយ    y ជាគូអរដោនេទីពីរ ដូចនេះ: 

(x,y) = (x^',y^' ) x^'=x and y^'=y

+ត្រីធាតុៈ xyz ជាសំនុំមានលំដាប់ ហើយមានបីធាតុ x,y,z ដែលគេសរសេរ (x,y,z)

x ជា គូអដោនេទី 1

y ជាគូអរដោនេទី 2  

z ជាគូអរដោនេទី 3

ដូចនេះ 

(x,y,z)=(x^',y^',z^' ){█(x=x'@y=y'@z=z')┤

*ជាទូទៅ n ធាតុ x1,x2,………,xn គឺជាសំនុំដែលមានលំដាប់ហើយមាន n ធាតុ

x1,x2,………,xn ដែលគេសរសេរ (x1,x2,………,xn) ។

x1ជាគូអរដោនេទី1

x2ជាគូអរដោនេទី2

xnជាគូអរដោនេទីn

ដូចនេះ (x1,x2………., xn) = (y1,y2,……….., yn)

x1=y1

  x2=y2



xn=yn

ផលគុណដេកាតនៃពីរសំនុំៈ

គេមានសំនុំពីរគឺ E និង F ដែលហៅថា ផលគុណដេកាតនៃ E ដោយ F គឺកំនត់ដោយៈ 

E×F={(x ,y)/ x∈E ,y ∈F}

Ex: E={a, b, c} , F={1,2}

គេបាន 

E×F={(a ,1)(a,2)(b,1)(b,2)(c,1)(c,2)}

ដ្យាក្រាមតាង E×F

ដ្យាក្រាមដេកាតៈ

សង្កេត

F×E={(1,a)  (1,b)  (1,c)(2,a)(2,b)(2,c)}

ដូចនេះជាទូទៅ E×F≠F×E

តាមនិយមន័យដូចនេះ

E×F×G={(X,Y,Z)/x∈E,y∈F,z∈G}

គេកំនត់សរសេរ :E^2=E×F,E^2=E×E×E

ទំនាក់ទំនងទ្វេធាតុ - លក្ខណៈ

និយមន័យ:

គេអោយសំនុំពីរ E និង F ។ដែលហៅថាទំនាក់ទំនងទ្វេធាតុពី E ទៅ F គឺគ្រប់អនុគមន៍សំណើ R (x , y)

ដែលពិត ចំពោះគូ (x ,y) ខ្លះ នៃ E×F ហើយមិនពិតចំពោះគូខ្លះទៀត ។ ក្នុងករណីនេះគេថា :

R ជាទំនាក់ទំនងទ្វេធាតុមួយ ពី E ទៅ F ។

E ហៅថាសំនុំដើម រឺ ប្រភព ។

F ហៅថាសំនុំចុង រឺ បំនង ។

-បើ R (x ,y) មិនពិតគេសរសេរ "x R y"

-បើ R(x ,y) ពិតគេសរសេរ “x R y”

Ex: សំនុំ G={ (x ,y)/x R y } ហៅថាក្រាបនៃ R

(i)- E={2,3,5} , F={1,4,5,6}

គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ F ដោយ :

"\"x R y\"  \"" x<y" ក្រាប G នៃ R គឺ

G={(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(5,6)}

ដ្យាក្រាបនៃ R

ដ្យាក្រាមដេកាត

E={2,3,5},F={4,5,6,8,9,10}

គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ F ដោយ : "xRy"  “x ចែកដាច់ y” ក្រាបG នៃ R គឺ

G={(2,4)(2,6)(2,8)(2,10)(3,6)(3,9)(5,5)(5,10)}

ដ្យាក្រាមនៃ R

ទំនាក់ទំនងច្រាស់ៈ គេឲ្យ R ទំនាក់ទ្វេធាតុមួយពី E ទៅ F ។ ហៅថាទំនាកើទំនងច្រាស់នៃ R គឺទំនាក់ទំនង R-1 ពី F ទៅ E កំនត់ដោយៈ "∀x∈E,   ∀y∈F"  yR-1x  xRy

Ex: “xRy”  “x<y”

      y>x

     yR-1x

បណ្តាក់ទំនាក់ទំនងទ្វេធាតុ

ដ្យាក្រាមនៃ R និង φ 

ដូចនេះដ្យាក្រាមនៃ φ oR គឺៈ

ទំនាក់ទំនងក្នុងសំនុំមួយៈ

(a)- និយមន័យៈ បើ E ជាសំនុំមួយ រកទំនាក់ទំនង R ពី E  E  ហៅថាទំនាក់ទំនងក្នុងសំនុំ E ។

(b)- លក្ខណៈ  R ជាទំនាក់ទំនងក្នុងសំនុំ E មួយ គេថាៈ

(i)-R មានលក្ខណៈខ្លួនឯងកាលណាៈ ∀ខខខx∈E ,x R x

(ii)-R មានលក្ខណៈឆ្លុះ កាលណាៈ ∀ខខខx∈E ,x R y  y R x

(iii)-R មានលក្ខណៈឆ្លុះស្មើ កាលណាៈ ∀ខខខx,y∈E ,{█(x R y@y R x)┤  x = y

(iv)-R មានលក្ខណៈឆ្លង កាលណាៈ 

∀ខខខx,y,z∈E,{█(x R y@y R z)┤                     x R z

Ex: (i)- ក្នុងសំនុំ IN, Z/ , Q , IR ជាទំនាក់ទំនងសមភាព “=” មានៈ

- លក្ខណៈខ្លួនឯង ព្រោះ ∀a,a=a 

- លក្ខណៈឆ្លុះ ព្រោះ ∀a,b,a=b  b=a

- លក្ខណៈឆ្លង ព្រោះ ∀a,b,c {█(a=b@b=c)┤    a=c

      (ii)- តាង E សំនុំបន្ទាត់ក្នុងប្លង់។ ក្នុង E គេកំនត់ទំនាក់ទំនង “//” ក្នុងនៃទូលាយដោយៈ

∀D,D^'∈E ,D //D^'  D=D^'  ⋁▒〖D ∩D^'=   〗

-ទំនាក់ទំនង “//” មានៈ

- លក្ខណៈខ្លួនឯង ព្រោះ ∀D ∈E,D // D

-លក្ខណៈឆ្លុះ ព្រោះ ∀D,D' ∈E,D // D' D' // D

-លក្ខណៈឆ្លង ∀D,D^',D^''∈E{█(D//D'@D^'//D'')┤         ឌD // D''

(iii)- ក្នុងសំនុំ IN ទំនាក់ទំនង “” មានលក្ខណៈ

. លក្ខណៈខ្លួនឯង ∀a ∈IN,a≤a

. លក្ខណៈស្មើ ∀a ∈IN,{█(a≤b@b≤a)┤      a=b

. លក្ខណៈឆ្លង  ∀a,b,c ∈IN,{█(a≤b@b≤c)┤      a≤c

(iv)-ក្នុងសំនុំ IN* ទំនាក់ទំនង “ចែកដាច់” មានលក្ខណៈ

- លក្ខណៈខ្លួនឯង ព្រោះ ∀a ∈IN^*,a=1.a  "aចែកដាច់ a"

- លក្ខណៈឆ្លុះ ព្រោះ 

{█(a ចែកដាច់ b@b ចែកដាច់ a)┤       {█(b=Ka,K∈IN^*@a=K^' b,K'∈IN^* )┤  

b=kk^' b ,k,k^'∈IN^*

kk'=1 ,k,k^'∈IN^*

k=k^'=1 ,a=b

- លក្ខណៈឆ្លង ព្រោះ 

{█(a ចែកដាច់ b@b ចែកដាច់ c)┤           {█(b=ka,k∈ IN^*@c=k^' b,k'∈IN^* )┤      

 c=kk^' a,k,k'∈IN^*  

a ចែកដាច់ c

ទំនាក់ទំនងសមមូលៈ

និយមន័យៈ

R ជាទំនាក់ទំនងក្នុងសំនុំ E។ គេថា R ជាទំនាក់ទំនងសមមូលកាលណាវាមាន លក្ខណៈខ្លួនឯង, លក្ខណៈឆ្លុះ និង លក្ខណៈឆ្លងៈ

(i)- ∀a ∈E,aRa

R មានទំនាក់ទំនងសមមូលលើ E   (ii)- ∀a,b ∈E,aRb  b R a

(iii)- ∀a,b,c ∈E,{█(a R b@b R c)┤    a R c

Ex: ទំនាក់ទំនង “//” ជាទំនាក់ទំនងសមមូលក្នុងសំនុំបន្ទាត់នៃប្លង់ 

ថ្នាក់សមមូលសំនុំផលចែក

R ជាទំនាក់ទំនងសមមូលក្នុងសំនុំ E 

បើ a ជាធាតុមួយនៃ E ដែលហៅថាថ្នាក់សមមូលនៃ a គឺជាសំនុំរងនៃ E កំនត់ដោយៈ

a^0=[a]=CL (a)={x∈E/aRx}

R ជាទំនាក់ទំនង សមមូលក្នុង E។ ដែលហៅថាសំនុំផលចែកនៃ E ដោយ R គឺជាសំនុំ

E_R={a^0  /a∈E}

  Ex:  (i)-ក្នុង IN ទំនាក់ទំនង aRb កាលណា a=b 

គេបាន R ជាទំនាក់ទំនងសមមូលៈ

∀a  ∈IN,a^0={x∈IN /aRx}

                               ={x∈IN ∕a=x}={a}

ដូចនេះ IN⁄R={a^0  ∕a∈IN }

         ={00, 10, 20,................,n0,...............}

         ={[0], [1],[ 2],................,[n],...............}

(ii)-E ជាសំនុំសិស្សក្នុងថ្នាក់រៀនមួយដែលសិស្សមានអាយុ ពី ១៦ ឆ្នាំដល់ ២០ ឆ្នាំ។ ក្នុងសំនុំ E គេបង្កើតទំនាក់ទំនង R ដោយ xRy  “x=y” ឬ “x អាយុស្មើ y”

គេបាន R ទំនាក់ទំនងសមមូលព្រោះវាមានៈ

. លក្ខណៈខ្លួនឯងៈ ∀x ∈E ,x=x  xRx

. លក្ខណៈឆ្លុះ :  ∀x,y ∈E ,xRy  x=y ឬ  x មានអាយុស្មើ y

 y =x ឬ y មានអាយុស្មើ x

 y R x

. លក្ខណៈឆ្លងដោយ : ∀x,y,z∈E,{█(x R y@y R z)┤    {█(x=y ឬ x អាយុស្មើ y@y=z ឬ y មានអាយុស្មើ z)┤

 x =z ឬ x មានអាយុស្មើ z

 x R z

បើគេយកសិស្ស A, B, C, D, F មានអាយុរៀងគ្នា 16,17,18,19,20

គេបានៈ A^0={x ∈  E⁄(x មានអាយុ 16 ឆ្នាំ)

           B^0={x ∈  E⁄(x មានអាយុ 17 ឆ្នាំ)

           C^0={x ∈  E⁄(x មានអាយុ 18 ឆ្នាំ)

           D^0={x ∈  E⁄(x មានអាយុ 19 ឆ្នាំ)

           F^0={x ∈  E⁄(x មានអាយុ 20 ឆ្នាំ)

  ដូចនេះ         {E⁄R= A^(0 ),B^0,C^0,D^0,F^0}        

ទំនាក់ទំនងលំដាប់ៈ

និយមន័យៈ ទំនាក់ទំនង “” កំនត់ក្នុងសំនុំ E ហៅថាទំនាក់ទំនងលំដាប់ លើ E កាលណាវាមាន លក្ខណៈខ្លួនឯង លក្ខណៈឆ្លុះស្មើ និង លក្ខណៈឆ្លង។ ក្នុងករណីនេះ E ជាសំនុំរៀប រយដោយ  ឬ (E , ) ជាសំនុំរៀបរយៈ

 ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លើ E កាលណាៈ

(i)-∀x∈E ,x  x

(ii)-∀x ,y ∈E ,{█(a y@y  z)┤    x=y

(iii)- ∀x ,y,z ∈E,{█(x  y@y  z)┤     x  z

ទំនាក់ទំនងលំដាប់គ្រប់និងទំនាក់ទំនងលំដាប់ដោយផ្នែក

បើ “” ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លើ E គេថាៈ

(i)-  ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់គ្រប់ ឬ (E, ) ជាសំនុំរៀបរយគ្រប់កាលណា ∀ x,y ∈E ,x និង y ធៀបគ្នាបានតាម មានន័យថា x  y ឬ y  x

(ii)-  ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លំដោយផ្នែក ឬ (E , ) ជាសំនុំរៀបរយដោយផ្នែកកាលណា  មិនមែនជាទំនាក់ទំនងលំដាប់គ្រប់ គឺ  ∃ x,y,∈E ,x និងy មិនអាចធៀបគ្នាបានតាម 

Ex1: ទំនាក់ទំនង “” ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លំដាប់គ្រប់លើ IN ព្រោះ ∀a,b ∈IN ,a  b ឬ ba 

Ex2: ទំនាក់ទំនង “ចែកដាច់” ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លើ IN* វាជាទំនាក់ទំនងលំដាប់ដោយផ្នែក ព្រោះ 3 និង5មិនអាចធៀបញគ្នាបានតាម “ចែកដាច់”

Ex3: E ជាសំនុំមួយ, P(E) ជាសំនុំផ្នែកនៃ E ។ ក្នុង P(E) គេកំនត់ទំនាក់ទំនង “”។លើ P(E) 

គេបានៈ “” ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លើ P(E) ព្រោះវាមានៈ

(i)- ∀A ∈P(E),AA

(ii)- ∀A,B ∈P(E),           {█(AB@BA)┤    A=B

(iii)-∀A,B,Z ∈P(E),       {█(AB@BC)┤     A  B

វាទំនាក់ទំនងលំដាប់លំដោយផ្នែក ព្រោះបើគេយក A និង B មិនធៀបគ្នាបានតាម “”

Ex: គូស ដ្យាក្រាបនៃទំនាក់ទំនង “” លើ P(E) , E = {a,b} គេបាន P(E) ={,[a],[b],[a,b]}

*គូ E ={a,b,c}

 P(E) = { ,[a],[b],[c],[a,b],[a,c],[b,c],[a,b,c]}

កាឌីណាល់នៃសំនុំរាប់អស់

និយមន័យៈ សំនុំចំនួនកត់ធម្មជាតិ N តែមួយគត់ ហៅថា កាឌីណាលនៃសំនុំរាប់អស់ E គេសរសេរ Card E។ យើងបំពេញនិយមន័យនេះដោយ សន្មត់ថា Card  = 0 ុយើងឃើញថា Card {a} = 1 , Card {a ,b} = 2 បើ a ≠b ។ល។ យើងអាចនិយាយបានថា Cardinal នៃសំនុំរាប់អស់មួយ ជាចំនួន នៃធាតុរបស់វា។ 

លក្ខណៈ យើងសនប្មត់ថាៈ

(a)- បើ E ជាសំនុំរាប់អស់នោះគ្រប់ផ្នែក  F នៃ E ក៨ជាសំនុំរាប់អស់ដែរ ហើយ Card FE ហើយបើ F≠E នោះ Card F< E ។

(b)-បើ E និង F ជាសំនុំរាប់អស់នោះ EF ក៏ជាសំនុំរាប់អស់ដែរហើយ EF =  នោះ 

Card(EF)=Card F + Card E

វិបាកៈ 

បើ E ជាសំនុំរាប់អស់នោះយើងបាន (FE) ហើយ Card F = Card E )  E=F

បើ E ជាសំនុំរាប់អស់នោះ EF ក៏ជាសំនុំរាប់អស់បានដែរ។

∀E,F ដែលជាសំនុំរាប់អស់នោះCard(EF)+Card(EF)=Card E + Card F

Proof:  

យើងដឹងថា EF=E(F/E) ហើយ  E((F/E)=  

យើងដឹងថា F/E =CF(EF)

ដូចនេះ F=(F/E) (EF)

ដោយ (F/E) (EF)=  

 Card(EF)=Card E + Card (F/E)

    Card(F)=Card (F/E)+Card(EF)

ដូចនេះ

Card(EF)=Card E + Card F – Card (EF)

 Card (EF)+Card (EF)=Card E +Card F

(d)-∀E, E1,E2,E3……………………..,En.   (n1) ដែលជាសំនុំដាច់គ្នាពីរៗ ហើយរាប់អស់ យើងបាន

Card (E1E2 ……………En)=Card E1 + Card E2 +……..+Card E n

(e)- កាឌីកាលរបស់ផលគុណៈ 

បើ A និង B ជាសំនុំពីរ រាប់អស់មិនទទេ ហើយបើយើងយកអនុគមន៍ F កំនត់ដោយ f: A ×B ⟶A

(x , y)  x

ហើយ n=Card A និង p=Card B នោះយើងបានៈ Card (A ×B)=Card A ×Card B

យើងឲ្យសំនុំពីរ A និង B ដែល A = {1,2,3} , B = {1,2} 

A×B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}

 Card (A×B)=6

អនុគមន៍-អនុវត្តន៍

អនុគមន៍ៈ

និយមន័យៈគេឲ្យសំនុំពីរ E&F ទំនាក់ទំនងគ្នា ពី E ទៅ F ហៅថាអនុគមន៍ ពី E ទៅ F ∀x∈E,∃y ∈F យ៉ាងច្រើនមួយដែល x f y ក្នុងករណី x f y គេសរសេរ y=f(x) គេកំនត់

f: E  F

x⟼ y=f(x)

y ហៅរូបនៃ x ដោយ f ឬ តម្លៃនៃ f ត្រង់ x

x ហៅធាតុដើម y 

សំនុំ D={xE/ ∃ y ∈F ,y=f(x)} ហៅថាដែនកំនត់នៃ f។

Ex: (i): E={a,b,c,d}  , F={1,2,3}

ទំនាក់ទំនង f កំនត់ដោយដ្យាក្រាម Sagital ខាងក្រោមៈ

ជាអនុគមន៍មួយពី E ទៅ F ដែលកំនត់នៃ f គឺៈ D={a,b,c}

(ii)-E={1,2,3,4,5} , F={1,3,4,6,7}

f : E  F 

x⟼ y=f(x)=x+2

ដ្យាក្រាម Sagital: 

ដែលកំនត់នៃ f គឺ D={1,2,4,5} ។

(iii)- គ្រប់អនុគមន៍ៈ f : IR  IR ហៅថាអនុគមន៍លេខ នៃ មួយអថេរពិត។

ដូចជា f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……..+a1x+a0 ហៅថាអនុគមន៍ ពហុធាដឺក្រេ n មានដែនកំនត់ D=IR

 +f(x)=(x^2+1)/(x^2-1) ជាអនុគមន៍សនិទាន មានដែនកំនត់ D=IR \{±1}

សមភាពនៃពីរអនុគមន៍ៈ

គេឲ្យ f,g ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F ។ គេថា f =g កាលណាៈ

(i)- f និង g មានដែនកំនត់ដូចគ្នា D។

(ii)- ∀x∈D ,f(x)=g(x) 

Ex: f: IR \ {1} ⟶ IR

      x          f(x)=x+1

     g: IR \ {1} ⟶ IR

      x          g(x)=  (x^2-1)/(x-1)

គេបានៈ  f(x)=g(x) 

បង្រួមនិងបន្លាយអនុគមន៍ៈ

f ជាអនុគមន៍ ពី E  F , A ជាសំនុំរងនៃ E ។ ដែលហៅថា បង្រួមនៃ f ទៅ A ដែលគេសរសេរ ថ f⁄A គឺជាអនុគមន៍ 

ថ f⁄A : A                        F

+ f ជាអនុគមន៍ពី A ទៅ F , A ជាសំនុំរងនៃ E ។ អនុគមន៍ g ពី E ទៅ F ហៅថា បន្លាយមួយនៃ f ទៅ E កាលណា∀ខx∈A,f(x)=g(x)

Ex: 

(i)- f: IR    IR

+ បង្រួម f ទៅ IR+ គឺៈ

f⁄〖IR〗^+  : IR+      IR

+បង្រួម f ទៅ 〖IR〗^- គឺៈ

f⁄〖IR〗^-  ∶ IR^-      IR

(ii)- f : IR*      IR

g : IR IR

         x⟼g(x)={█(sin⁡x/x  បើ  x≠0@1 បើ x=0)┤

 g ជាបន្លាយមួយនៃ f 

បណ្តាក់នៃអនុគមន៍ៈ

+ និយមន័យៈ E, F, G ជាសំនុំបី។ f ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F, g ជាអនុគមន៍ ពី F ទៅ G ។ ដែលហៅថា បណ្តាក់នៃ f ដោយ g គឺអនុគមន៍ពី E ទៅG តាងដោយ g0 f  ដែល (g0 f) (x) = g[f(x)]

ដ្យាក្រាមៈ E      f F g G 

   x   y = f(x)    z = g(y) 

   = g[f(x)]= (g0 f) (x)

     g0 f

 ឬ E    f F

g0. f G  

Ex: f: IR    IR

    x        f(x)=2x+1

g: IR    IR

    x        g(x)=√x  

គេបានៈ  (go f ) (x)=g[f(x)]=g(2x+1)=√(2x+1)

(fo g ) (x)=f[g(x)]= f(√x)=2√x+1

Note: g0 f ≠ f0 g

*ទ្រឹស្តីបទៈ បណ្តាក់អនុគមន៍មានលក្ខណៈផ្តុំមានន័យថាបើ f ជាអនុគមន៍ ពី E ទៅ F អនុគមន៍ពី F ទៅ G។ h ជាអនុគមន៍ពី  G ទៅ H គេបានៈ (h0g) 0 f = h0 (g0 f) ពិតតាមមេដ្យាក្រាមខាងក្រោមៈ

 ឬ E f     F

(h0 f)0 f = h0 (g0 f)

    H         G  

តទៅគេសរសេរៈ h0g0 f ជំនួស អង្គទាំងពីរ។ គេកំនត់សរសេរ f2=f 0 f , f3=f 0 f 0  f

អនុវត្តន៍ៈ

និយមន័យៈ អនុគមន៍ f ពី E ទៅ F ហៅថាអនុគមន៍ពី E ទៅ F កាលណាដែនកំនត់នៃ f ស្មើ  E ។

ដូចនេះ f ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F  ∀x∈E ,∃ y ∈F តែមួយគត់ y=f(x)

Ex: 

(i)- f : IN IN

n    f(n)=n2+3n+1 ជាអនុគមន៍។

(ii)- f : IR IR

x    f(x)=x/(x^2+1) ជាអនុគមន៍ ពី IR ទៅ IR។

លក្ខណអនុវត្តន៍ៈ 

f ជាអនុគមន៍មួយពី E ទៅ F គេថាៈ 

(i)- f ជាអនុគមន៍ពេញៈ កាលណា ∀ y∈F ,∃ x∈E  យ៉ាងតិចមួយ , y= f(x)

(ii)- f ជាអនុគមន៍ប្រកាន់ៈ កាលណា ∀ x_1 〖,x〗_2∈E ,x_(1 ≠) x_2  f(x_1 )  ≠f(x_2) 

ម្យ៉ាងទៀតៈ ∀ x_1 〖,x〗_2∈E ,f(x_1 )  ឲ=f(x_2 ) x_1=x_2

                   ≡∀ y∈F ,∃ x∈E យ៉ាងច្រើនមួយ , y = f(x)

(iii)- f ជាអនុគមន៍មួយទល់មួយ កាលណា f ជាអនុគមន៍ពេញផង ប្រកាន់ផង

 ∀ y∈F ,∃ x∈E តែមួយគត់ , y = f(x) 

 ∀ y∈F សមីការអញ្ញាតិ , x ,  f(x) = y មានឬសតែមួយគត់ៈ

+ អនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍ មួយទល់មួយ 

បើ f ជាអនុគមន៍មួយទល់មួយពី E ទៅ F គេបាន ∀ y∈F ,∃ x∈E តែមួយគត់ y=f(x)

 ∀ y∈F ,∃ x∈E តែមួយគត់ y f x

 f-1 ជាអនុគមន៍ពី F ទៅ E , f-1 ជាអនុគមន៍ច្រាស់នៃ f គឺ x= f-1(y)  y= f(x) 

ច្រើនតាមនិយមន័យ f ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F គេបានៈ 

∀ x∈E ,∃ y∈F តែមួយគត់ , y=f(x)  ∀ x∈E ,∃ y∈F តែមួយគត់ x=f-1(y)

        f-1 ជាអនុគមន៍ពីមួយទៅមួយពី F ទៅ E

Ex: 

(i)- f : IR IR

x y=f(x) = x2

តើ f ជាអនុគមន៍ ពេញ ឬ ទេ?ប្រកាន់ ឬទេ?

ស្រាយៈ 

+ f មិនជាអនុគមន៍ពេញ ព្រោះ ∃∈IR ,∀x∈IR,f(x)=x^2  ≠-1 

+ f មិនជាអនុគមន៍ប្រកាន់ ព្រោះ ∃-1∈IR ,1∈IR,-1≠1 តែ f(f(-1)=f(1)=1 

+f មិនពេញ  ∃ y ∈F ,∀ x ∈E ,y ≠f(x)

+f មិនប្រកាន់  ∃ x_1,x_2  ∈E ,x_1≠តែ  f(x_1 )=f(x_2)

(ii)- f : IN IN

        n  f(n)=3n

តើ f ជាអនុគមន៍ពេញឬទេ? ប្រកាន់ឬទេ?

ស្រាយៈ 

+ f ជាអនុគមន៍ប្រកាន់ ព្រោះ ∀n1,n2 ∈IN , n1≠n2  f(n1)=3n1 ≠ f(n1)= 3n2

+ f ជាអនុគមន៍ពេញ ព្រោះ ∃2∈IN ,∀ n ∈IN ,f(n)=3^n≠2 

(iii)- f : IR+ IR+

n    y = f(x)=x2

បង្ហាញថា f ជាអនុគមន៍ មួយទល់មួយ ហើយកំនត់ f-1?

ស្រាយៈ 

ចំពោះ ∀y∈IR សមីការអញ្ញាតិ x

{█(f(x)=y@x ∈〖IR〗^+ )┤  {█(x^2=y@x ∈〖IR〗^+ )┤ 

 x = √y មាន ឬសមួយគត់។

ដូចនេះ f ជាអនុគមន៍មួយទល់មួយ ពី IR+ ទៅ IR+ អនុគមន៍ច្រាស់របស់ f គឺៈ

f-1  : IR+         IR+

         x   f-1(x)=√x

រូបភាពនៃសំនុំដោយអនុវត្តន៍ៈ

+និយមន័យៈ f ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F , A ជាសំនុំរងនៃ E។

ដែលហៅថារូបភាពនៃ A ដោយ f  គឺសំនុំដោយៈ

f(A)={f(x)/x∈A}

ជាពិសេស  f(E)={f(x)/x∈E}

Ex: f : IR IR

x f(x) = x2

គេបានៈ

+ f([0,1])=[0,1]

+ f([-1⁄2,2⁄3])=[[0,4⁄9]

+ f(IR) =IR+

Ex: f: IN IN

n f(n)=2n

គេបានៈ 

+ f(IN) = {1,2,22,……, 2n….}

+ f(3,4,5)= {8,16,32}  

*ទ្រឹស្តីបទៈ

(i)- ∀A ,B  E ,A  B  f(A) f(B) 

(ii)- ∀A,B  E , 

+ f(AB)=f(A)f(B)

+ f(AB) f(A)  f(B)

(iii)-f ពេញ  f(E) =F

(iv)- f ប្រកាន់  ∀A,B  E ,f(AB)=f(A)f(B)

ទ្រឹស្តីបទៈf ជាអនុគមន៍ពី E ទៅ F,g ជាអនុគមន៍ពី F ទៅ , h=g0 fជាអនុគមន៍ពី E ទៅ G។

គេបានៈ 

(i)- f and g ពេញ  h ពេញ

(ii)- f and g ប្រកាន់  h ប្រកាន់

(iii)- f and g មួយទល់មួយ  h មួយទល់ំមួយ

Exercises:

List the elements of the following sets; here N ={1,2,3,….}.

A ={x∶x∈N,3<x<12}

B ={x:x∈N,x is even ,x<15}

C={x:x∈N,4+x=3}

Consider the following sets:

A={1}; B={1,3};  C={1,5,9};  D={1,2,3,4,5};   E={1,3,5,7,9};   U={1,2,3,4,5,6,7,8,9};

Insert the correct symbol  or  between each pair of sets:

 

B,C

C,D

D,E

A,B

B.E

C,E

D,U

 

In problem 2, assume U=1,2,3,4,5,6,7,8,9 and 

 A={1,2,3,4,5}

 B={4,5,6,7}

C={5,6,7,8,9}

D={1,3,5,7,9}

E={2,4,6,8}

F={1,5,9}

Find (a) AB and AB , (b) BD and BD, (c) AC and AC, (d) Ac , Bc, and Dc; 

(e) A\B,B\A, and F\D

*Recall that the union XY consists of those elements in either X or Y (or both), and that the intersection XY consist of those elements in both X and Y.

*Recall that the complement Xc consist of those elements in the universal set U which do not belong to X, and the difference X\Y consist of those elements in X which do not belong to Y.

Show that we can have AB =AC without B=C.

Write the dual of each set equation:

(AB)(BBc) =A 

(AU)(BA)=A

Prove the identity (UA)(BA)=A

In a survey of 60           people it was found the 25 read Newsweek magazine, 26 read Time and 26 read Fortune. Also 9 read both Newsweek and Fortune, 11 read both Newsweek and Time, 8 read none of the three magazines.

Find the number of people who read all three magazines.

Fill in the correct number of readers in each of the either regions of the Venn diagram.

Determine the number of people who read exactly one magazine.

Determine the power set P(S) of S={a,b,c,d}.

Observe that P(S) has 24=16 elements.

Give A={1,2} , B={x,y,z}, C={3,4} , Find A × B × C.

Given (2x, x+y) =(6,2). Find x and y.

Find all the partitions of X={a,b,c,d}.

Let R and S be the following relations on A={1,2,3}

R={(1,1),(1,2),(2,3),(3,1),(3,3)} S={(1,2),(1,3),(2,1),(3,3)}

Find RS, RS, and R0 

Which of the following sets are equal?

{1,2},{1,3},{2,1},{3,1,3},{1,2,1}

A={x:x2-4x+3=0} C={x:x∈N,x<3}

B={x:x2-3x+2=0} D={x: x∈N,x is odd,x<5}

List the elements of the following sets if the universal set is U={a,b,c,….,y,z}.

which of the sets, if any, are equal?

A={x:x is a vowel}

B={x:x is letter in the word “little”}

C={x: precedes f in the alphabet}

D={x:x is letter in the word “title”}

Given  A={a,b,c,d,e} C={b,c,e,g,h}    

      B={a,b,d,f,g} D={d,e,f,g,h}

Find (a)- AB (c)- C\D (e)- (AD)B

(b)- BC (d)- A(BD) (f)- BCD

Write the dual of each set equation:

A(AB)=A

(AB)(AcB)(ABc)(AcBc)=U

The Venn diagram of Fig show sets A, B, and C. Shade the following sets.

ABC

ABcC

A(BC)

C(ABc)

(AcB)\C

A survey of 100 students products the following statics:

32 study mathematics,

20 study physics,

45 study biology,

15 study mathematics and biology,

7 study mathematics and physics,

10 study physics and bioplogy,

30 do not study any of three subjects.

(a)- Find the number of students studying all three subjects.

(b)-Fill in the number of students in each of the eight regions of the Venn diagram, Where M, P, and B denote the sets of students studying mathematics, physics and biology respectively.

(c) Find the number of students taking exactly one of the three subjects.

Find the power set, P(S), of S={1,2,3,4,5}

Let W=1,2,3,4,5,6. Determine which of the following are partitions of W:

[{1,3,5},{2,4},{3,6}]

[{1,5},{2},{3,6}]

[{1,5},{2},{4},{1,5},{3,6}]

[{1,2,3,4,5,6}]

Find x and y if:

(x+2,4)=(5, 2x+y)

(y-2, 2x+1)=(x-1,y+2)

Show that:  A  B = A  A  B 

Show that:  B = A  B  A  B

Show that:  ∀A,B,C 

if(A  B)  (A  C  B  C) and (AC  B

Show that:

BA  A\B = C_A^B

A\B = A\(AB)\B=AB ̅

A, B, C are subsets of E, show that:

(AC)(BC)=AC

(AC)(BC)=BC

(AB ̅)(A ̅B ̅)=B ̅ 

(AB)(AB ̅)(A ̅B)=AB

Suppose that 100 of the 120 mathematics students at a college take at least one of the languages French, German, and Russian. Also suppose: 

65 study French

45 study German

42 study Russian

20 study French and German

25 study French and Russian

15 study German and Russian

    Let F, G, and R denote the sets of students studying French, German and Russian respectively. We wish to find the number of students who study all three languages and to fill in the correct number of students in each of the eight regions of the Venn Diagram.

-គេដឹងថាក្នុងសិស្ស1000នាក់មាន720នាក់រៀនភាសាខែ្មរ500នាក់រៀនភាសាអង់គេ្លស250នាក់រៀនភាសាបារាំង និង3 40នាក់រៀនភាសាខែ្មរនិងអង់គេ្លស140នាក់រៀនភាសាខែ្មរនិងភាសាបារាំង 130 នាក់រៀនភាសាអង់គេ្លស និងភាសាបារាំង ហើយ  40នាក់រៀនភាសាទាំង៣។ដោយប្រើដ្យាក្រាមវិន ចូររកចំនួនសិស្សដែលមិនរៀនភាសាណាមួយសោះ។

-គេកំណត់ឈ្នាប់ “w” ហៅថាឈ្នាប់( រីដាច់ណាត់ )

Truth Table

p q p w q

1

1

0

0 1

0

1

0 0

1

1

0

Show that :

(a)-p w q  q w p (b)- (p w q) w r  p w (q w r )

(c)-p(q w r)  (pq) w (pr)

(ប្រើលំហាត់ទី26) A, B, C ជាសំនុំរងនៃ E គេកំណត់ :

    A  B = {xE/ xA w xB};  ហៅថាផលដកឆ្លុះ ។

Show that :

(a)-A  B = (A\B)(B\A)=(AB)\(AB) (b)-A  B = B  A

(c)-A  B)  C = A  (B  C) (d)-A(B  C) = (AB)  (AC)

30)-គេអោយ E = { 0,1,2,3,4,5,6 } គេកំណត់ទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ E ដោយ :

x R y  x + y = 6

សង់ដ្យាក្រាមដេកាតនៃ R ហើយទាញរកក្រាបនៃ R

 31)-គេអោយ E =[0,1]  នៃ R ។គេកំណត់ទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ E ដោយ :

x R y  x + y  1

សង់ដ្យាក្រាមដេកាតនៃ R ។

32)-សង់ដ្យាក្រាមតាងទំនាក់ទំនងលំដាប់ “ ចែកដាច់ ”

ក-ក្នុងសុំនុំតួចែកនៃ 12 ។

ខ-ក្នុងសុំនុំតួចែកនៃ 90 ។

33)-លើសំនុំN2 = {(a, b)/ a, bN}

គេកំណត់ទំនាក់ទំនង R ដោយ:  (a,b),(a’,b’) N2 , (a,b) R(a’,b’) a+b’ =b+a’

(a)-ស្រយថា R ជាទំនាក់ទំនងសមមូលលើ N2 ។

(b)-បើ(a,b) N2 រកថ្នាក់សមមូល (a,b) ។សង់សំនុំផលចែក N2 /R ។

34)-លើ N2 គេកំណត់ទំនាក់ទំនង “  ” ដោយ :

      (a,b),(a’,b’)N2,(a,b) (a’,b’)(a  a’)(bb’)

      ស្រាយថា  ជាទំនាក់ទំនងលំដាប់លើ N2 ។តើវាជាទំនាក់ទំនងលំដាប់គ្រប់រឺទេ?

35)-គេអោយ A = { x R/ x2- 8x+ 12 =0}, B= { x R / x2 – 4x- 5 =0 }

       ស្រាយថា A និង B ជាសំនុំដាច់គ្នា ។

36)-គេអោយ A = {x R/ x2 – 8x + 12 =0} , B={ x Z/ x2 – 4x+ 3 <= 0 }

       គណនា AB  ។

37)-យើងយកសាកល E =N,C ={ x  N* / x ជាពហុគុណនៃ 3 នីង x < 16},

       B = {x  N* / x ជាចំនួនគូនិង x < 14 }, ហើយ A= {x  N* /x <14}.

        គណនា A(BC) ។

38)-យើងយកសកល A = { x  N/1 < 7 }, B = { x  N/ 3 < x < 10}។

       គណនា A \ B និង B \ A ។

39)-A , B ជាសំនុំរង E ស្រាយថាA  B  A \ B = 

40)-A , B ជាសំនុំរងនៃ E ស្រាយថា:

(a)- A  B  A  B ̅  = 

(b)- A  B  (A ) ̅  B = E

41)-Show that A  B = A  B  A = B

42)-A, B, C, ជាសំនុំរងនៃ E គេកំនត់ A  B = (A\B)(B\B)

Show that A  B = (AB)\ (BA)

43)A,B ជាសំនុំរងនៃ E ស្រាយថា: A  B  A ̅ ( B) ̅

44)-Show that A(BC) = (AB)(AC)

45)-Show that A =B  AB = 

46)-ចូរប្រៀបធៀប P(AB) and P(A)P(B) រួច P(AB) and P(A)P(B)

47)-គេអោយ E = {2, 3, 4}; F = {6, 7, 8} គេកំនត់ទំទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ F ដោយ:

       xE; yF; xRy  x ជាតួចែកនៃ y

(a)សង់ដ្យាក្រាម sagital និងដ្យាក្រាមដេកាតតាងក្រាបនៃR

(b)សំនួរដូចគ្មាចំពោះR-1

48)-គេអោយ E = {2, 3, 4, 5}; F ={2, 3, 4, 5, 6}; H = {6, 5, 8, 9}

គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ F និងទំនាក់ទំនង R ពី E ទៅ F និងទំនាក់ទំនង ពី F ទៅ H ដោយ:

xE; yF; xRy  x < y

yF; zH; yz  z = y +2

សង់ដ្យាក្រាមតាងទំនាក់ទំនង  o R

49)-គេអោយ A = {(x,y)R2/R: 2x+3y-6 = 0  x-3y+3 = 0}

B ={(1,y);yR} C = {(x,0) , xR}

Show that A = BC

50)-គេអោយសំនុំE={3,4,5,6,8,10,} ក្នុងសំនុំE គេកំនត់ទនាក់ទំនងR ដោយះ

      ∀x,y∈E;xRy (x

51)-គេអោយសំនុំE={ 1,2,3,4,5 } លើសំនុំ E គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ដោយ:

     ∀x,y∈E;xRy (x+y-xy=)

     (a)-សង់ដ្យាក្រាមតាងក្រាបនៃR

      (b)-សិក្សាលក្ខណះនៃR

52)-លើសំនុំ R គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ដោយៈ ∀ខx,y∈R;xRy  (|x|+|y|=1)  

(a)- សង់ដ្យាក្រាមដេកាតតាង R 

(b)- សិក្សាលក្ខណៈនៃ R 

53)- គេឲ្យសំនុំ E ={a,b,c} លើ P(E) គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ដោយៈ

∀A,B∈P(E);ARBA{a}=B{a}

(a)- ស្រាយថា R ជាទំនាក់ទំនង សមមូល

(b)- សង់ដ្យាក្រាម តាង R ហើយរកថ្នាក់សមមូលទាំងអស់ (ឬរកសំនុំផលចែក)

54)- លើសំនុំ R គេកំនត់ទំនាក់ទំនង R ដោយៈ ∀a,b∈R;aRb  (|a|-|b|=a-b

(a)- ស្រាយថា R ជាទំនាក់ទំនងសមមូល 

(b)- ចូរកំនត់ថ្នាក់សមមូល 20;-20

(c)- ចូរកំនត់ថ្នាក់ a0,aR

55)- R1; R2 ជាទំនាក់ទំនងសមមូលពីរនៅលើ E។ខាងក្រោមនេះគឺជាទំនាក់ទំនងសមមូលៈ

(a)- aRb  aR1b  aR2b ស្រាយថាR ជាទំនាក់ទំនងសមមូល។

(b)- aRb  aR1b  aR2b តើ ជា ទំនាក់ទំនងសមមូលឬទេ?

T ជាទំនាក់ទំនងកំនត់ក្នុង E ដែលមានលក្ខណៈខ្លួនឯង និងលក្ខណៈឆ្លង

កំនត់ទំនាក់ទំនងR លើ E ដោយៈ aRb  aTb  bTa 

ស្រាយថា R  ជាទំនាក់ទំនងសមមូលលើ E។

លើសំនុំផលចែក E/R គេកំនត់ទំនាក់ទំនង   ដោយៈ

∀a^0,b^0;a^0  φ b^0    aRb 

ស្រាយថា  ជាទំនាក់ទំនងសមមូលលើ E/R ។

ចំពោះ xN* គេកំនត់ទំនាក់ទំនង f ដោយៈ

f(x)={dN/d ចែកដាច់ x}

តើ f ជាអនុគមន៍ឬទេ? បើអនុគមន៍តើ ពីសំនុំ N* ទៅសំនុំណា? 

សិក្សាលក្ខណៈនៃ f ។ 

គេឲ្យ f: N  N

  x  f(x) =2x

g : N  N

      

xg(x)= {█(x⁄(2 បើ x គូ)@0 បើ x សេស)┤

ចូរកំនត់ f(N) and g(N) 

ចូរកំនត់ h = g o f and k=f o g និងរក h(N) and k