Logic,Truth and Tables

មេរៀនទី ១ ៖

គណិតតក្កវិទ្យា(Logic, Truth Tables)

ដូចម្តេចដែលហៅថាតក្កវិទ្យា?
តក្កវិទ្យាគឺជាវិទ្យាដែលសិក្សាលើតំលៃពិតនៃសំនើរ ឃ្លាប្រយោគអំនៈអំនាងផ្សេងៗ។
សំនើ
គឺជាការប្រជុំពាក្យឬនិម្មិតសញ្ញាផ្សេងៗ ដែលគេអះអាងងាយថាពិត ឬមិនពិតប៉ុណ្ណោះ។
ជាទូទៅគេតាងសំនើរដោយអក្សរ p,q,r,t.........
Ex: p=2 ជាចំនួនគត់ ជាសំនើរពិត
q=32<2 ជាសំនើរមិនពិត
t=22<3 ជាសំនើរមិនពិត
Note: ចំពោះពាក្យ “ 10+5” មិនមែនជាសំនើទេព្រោះយើងមិនអាចធ្វើការសំរេចចិត្តបាន ថាពិតឬមិនពិត។
តំលៃភាពពិតនៃសំនើរៈ
-បើ p ជាសំនើពិត នោះគេថាវាមានតំលៃពិតស្មើ១
-បើ q ជាសំនើពិត នោះគេថាវាមានតំលៃពិតស្មើ0
ទ្រឹស្តីបទជាសំនើពិត ដោយអាចសន្និដ្ឋានបានតាមការដោះស្រាយបញ្ហា។
ស្វ័យសត្យ ជាសំនើពិតជានិច្ច ដោយគ្មានការស្រាយបញ្ជាក់។
ឈ្នាប់តក្កវិទ្យា
-ដូចមេ្តដែលហៅថាឈ្លាប់
-ឈ្លាប់គឺជាពាក្យមូយ ពីឃា្លមូយទៅឃា្លមូយ និងពូកកន្សោមួយទៅកន្សោមួយទៀតជាដើម
-ជូចម្តេចដែលហៅថាឈា្លប់តក្កវិទ្យា?
ឈា្លប់តក្កវិទ្យាគឺជាប្រមាណវិធីមួយបែបដែល ប្រើសំរាប់ភា្ជប់សំនើរ ពីរ រឺ ច្រើន ?
ឈ្នាប់មិន“” ឬ “    ”
ឈា្លប់មិនប្រើសំរាប់ដាក់ពីមុខសំនើមួយហើយសំនើដែលទទួលបានមានតំលៃភាពពិតខុសពូសំនើមុន
         សំនើ  “” ឬ “    ”
p p ̅
1 0
0 1

   Ex:      ផ្ទុយនៃសំនើ                                សំនើ   “OA=OB” គឺ”OA  OB”
ឈ្នាប់និង “”
សំរាប់ភ្ជាប់សំនើពីរហើយសំនើ p និង qជាសំនើពិតក្នុងករណីដែលសំនើ p និង q  ពិតព្រមគ្នា
Ex: p “ ត្រីកោណសម័ង្សមានជ្រុង៣ប៉ុនគ្នា”
p “ ត្រីកោណសម័ង្សមានមុំ៣ប៉ុនគ្នា”
យើងបានសំនើ “p^q” ត្រីកោណសម័ង្សមានជ្រុង៣ប៉ុនគ្នា និងមានមុំ ៣ ប៉ុនគ្នាពិតជាសំនើពិត
Ex: p: “12 ចែកដាច់និង4”
q:  “12ចែកដាច់និង3”
ដុចនេះ សំនើ p^q ជាសំនើពិត ។
តារាងភាពពិត
p p p^q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
ឈ្នាប់រឺ “”
សំនើ “pq” ជាសំនើពិតជានិច្ចលើកលែងតែសំនើ p និង q មិនពិតព្រមគ្នា។
  Ex: សំនើ p: “2<3” ពិត  ;  q: “2=3” មិនពិត
   pq “23” ជាសមនើពិត
p p pq
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
តារាងភាពពិត

ឈ្នាប់នាំអោយ “”
សំនើ pq ជាសំនើ់ពិតគ្រប់ករណីលើកលែងតែសំនើ  pពិតសំនើq មិនពិត
Ex: p  “1>2”  ; q “4<8”
យើងបាន(pq)ជាសំនើពិត
p p pq
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
តារាងភាពពិត



ឈ្នាប់ សមមូល  “pq”
សំនើ pq ជាសំនើពិតក្នុងករណី “P=q” មានន័យថាសំនើp និងqពិតទាំងពីរ រឺ មិនពិតទាំងពីរព្រមទាំងគ្នា៕
      Ex     P “3>4” មិនពិត    q “5>8” មិនពិត
            យើងបាន  ( p  q)  ជាសំនើ          
p p pq
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
តារាងភាគពិត




ឈ្នាប់តក្កសមមូល  “  ”
សំនើP និងសំនើ q ជាសំនើសមាស (មានន័យថាសំនើដែលមានទោលច្រើនជាប់គ្នាដោយឈ្នាប់តក្កវិទ្យា)។
               គេសរសេរ: pq ជាសំនើពិតកាលណា P និង q ពិតដូចគ្នាមានន័យថា p និង q ជាសំនើដូចគ្នា។
លក្ខណះ
p ̿≡p
(pq)≡(p ̅   q ̅)
p q p ̅ p ̅∨q
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1
1 1 0 1
(pq)≡(p ̅  ∨ q) តារាងភាគពិត
((pq) ̅)≡(p∧ q ̅)




ច្បាប់ Morgan
(p∧q) ̅≡p ̅∨q ̅
(p∨q) ̅≡p ̅∧q ̅
ជាទូទៅ (p_1∧p_2∧∧p_n ) ̅≡( p_1 ) ̅∨(p_2 ) ̅∨∨(p_n ) ̅
(p_1∨p_2∨∨p_n ) ̅≡( p_1 ) ̅∧(p_2 ) ̅∧∧(p_n ) ̅
លក្ខណៈត្រលាប់
p∧q≡q∧p
p∨q≡q∨p
លក្ខណៈផ្តុំ
p∨(q∨r)≡(p∧q)∨r
p∧(q∧r)≡(p∨q)∧r
លក្ខណៈបំបែក
p∧(q∨r)≡(p∧q)∧(p∧r
p∨(q∨r)≡(p∨q)∨(p∨r
លក្ខណៈឆ្លង
[(pq)∧(qr)]≡(pr)
[(pq)∧(qr)]≡(pr)
                                  កំនត់ចំនាំ   : នៅក្នុងសំនើ “pq”
+p ហៅសម្មតិកម្ម រឺ លក្ខខ័ណ្ឌគ្រប់គ្រាន់
+q ហៅថាសនិដ្ឋាន រឺ លក្ខខ័ណ្ឌចាំបាច់
ក្នុងការស្រាយបញ្ជាក់សំនើ “ pq”
ឧបមាថា សំនើ pជាសំនើពិត ដែលមានន័យថាសំនើ pq ជាសំនើពិត ។
ការស្រាយបញ្ជាក់ខ្លះនៅក្នុងគណិតវិទ្យា
ការស្រាយបញ្ជាក់ដោយផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ជាក់ទ្រឹស្ដីបទ “ pq” យើងប្រើលក្ខណះមួយ pq≡(q ̅p ̅)
     ឧបមាថាសំនើP ជាសំនើមិនពិត នោះ p ̅ ជាសំនើពិតនោះយើងនិងស្រាយអោយឃើញថា ផផp ̅ ជាសំនើ
     ពិត p មិនពិតផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម។
                    Ex: n  N ស្រាយបញ្ជាក់ថា :បើ n2 ជាចំនួនសេស  n ជាចំនួនសេស
  ឧបមាថា n ជាចំនួនគូ n =2k/k  N
       n2 = 4k2  គូផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម
ការស្រាយបញ្ជាក់ដោយផ្ទុយពីការគិត
ដោយស្រាយបញ្ជាក់ ទ្រឹស្ដីបទ “p q ” យើងប្រើលក្ខណៈ p⟹q≡ q ̅  ⟹q ̅
ឧបមាថា q ជាសំនើមិនពិត  q  ជាសំនើពិត យើងប្រើសម្មតិកម្មដើម្បីស្រាយអោយបានលក្ខណៈ
មយផ្ទុយពីកាពិត។
Ex:    a,b  R  បង្ហាញថាៈ ab≤1/2(a^2+b^2)
ឧបមាថាៈ  pab≤1/2(a^2+b^2)  មិនពិត
  (p") ̅     ab≻1/2(a^2+b^2)
           ⟺ 2ab≻a^2+b^2
           ⟺ 〖(a+b)〗^2≺   មិនពិត
ការស្រាយបញ្ជាក់ដោយពីវិចារកំនើន
ការស្រាយបញ្ជាក់តាមវិចាកំនើន គឺអាចអនុវត្តន៍តែលើកំនើនតទាំឡាយណាដែលជា ចំនួនគត់ធម្មជាតិ(N) ។
បើយើងចង់ស្រាយសំនើរ (pn) មួយជាសំនើពិត យើងត្រូវស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ សំនើ (po) ជាសំនើពិត រួចយើង
ឧបមារហូតដល់ (pn) ថាពិត បន្ទាប់មកយើងនឹងស្រាយរហូតដល់ (pn+1) ថាពិត
Ex ស្រាយបញ្ជក់ថាៈ ចំពោះ  n  N*គេបានៈ 5n  1 ចែកដាច់នឹង4
+បើ n=1 នោះ511=4ចែកដាច់នឹង4
យើងនឹងស្រាយថាពិតរហូតដល់n+1 គឺ 5n+11ចែកដាច់នឹង4
គេមាន 5n+11= 5 x 5n 1 = 5n 1 + 4 x 5n
តែ 5n1 ចែកដាច់នឹង 4នឹង 4 x 5n ចែកដាច់នឹង4
 5n1  ចែកដាច់នឹង4
ដូចនេះ

Exបង្ហាញថាៈ1/2!+2/3!++n/((n+1)!)=1-1/((n+1)!)   n  N*
បើ n=1 គេបាន 1/2!=1-1/2!⟺1/2=1/2  ពិត
ឧបមាថាពិត រហូតដល់ n គឺៈ 1/2!+1/3!++(n-1ឥ)/n!=1-1/n! ពិត
យើងនឹងស្រាយឲ្យឃើញថាពិតដល់ n+1 គឺៈ
1/2!+2/3!++nឥ/((n+1)!)=1-1/((n+1)!) ពិតដែរ
យើងបាន 1/2!+2/3!++nឥ/((n+1)!)=1/2!+1/3!++(n-1)/n!+n/((n+1)!)
=1-1/n!+n/(n!(n+1))
=1-1/n! (1-n/(n+1))=1-1/(n!(n+1))
=1/((n+1)!) ពិត

ដូច្នេះ 1/2!+2/3!++n/((n+1)!)=1-1/((n+1)!)

Exercises:
1-Let p is true ; q is false and r is true find the truth value of each propositions:
(p∧q)r
(p∨q)r ̅
p∧(qr)
p(qr)
2-Let A, B, C are propositions: show that find that.
[(A∧B)C]≡(A(BC)
[A(B∧C)]≡(AB)∧(AC)
[(A∨B)C]≡(AC)∧(BC)
(A(B∨C))≡((A∧B ̅ )C)
3-Write truth table of each proposition:
(p∨q)∧p ̅
(p∧q)∨(p ̅∨q)
(p∧q) ̅∨(q ̅∨r)
(p ̅∨q ̅)∨p
((p∨q) ̅ )∨(r∧p ̅)
4-aR, Show that if -1<a<1a2<1
5-If a, b N Show that:
[((a>b)(a=b) ) ̅ ]≡a>b
[((a>b)(a=a) ) ̅ ]≡a≠a
[((a>b)(a<b) ) ̅ ]≡a>b
6-Use induction to prove the statement.
7n-1 is divisible by 6, for n=1, 2, 3, …
11n-6 is divisible by 5, for n=1, 2, 3, …
6.7n-2.3n is divisible by 4, for n=1, 2, 3, …
3n+7n-2 is divisible by 8, for n=1, 2, 3, …